Intégrale « de Newton »

Champ électrique – sphère chargée Champ électrique créés par une sphère chargée En gravitation, losque l’on calcule l’attraction réciproque de deux astres, la distance entre les deux est calculée du centre de masse de l’un à celui de l’autre. Est-ce bien juste? Peut-on concentrer la masse d’un astre en un point central ou est-ce une approximation qui est très pratique? On va voir que c’est tout à fait justifié en calculant le champ électrique d’une sphère chargée à une distance z du centre. Le champ électrique est une forme mathématique analogue au champ de gravitation. En effet, on a pour le champ électrique d’une charge isolée Q, la grandeur vectorielle 4πϵ0 ∥r − r′ ∥2 ∥r − r′ ∥ r est la position où l’on mesure le champ et r′ la position de la charge Q Pour le champ gravitationel on a: ∥ r − r ′ ∥2 ∥ r − r ′ ∥ r est la position où l’on mesure le champ et r′ la position de la masse M. On commence par considérer une sphère vide (bulle de savon) possédant une charge surfacique de σ mC2 . La première intégrale va démontrer que le champ électrique mesuré à une distance plus grande que le rayon de la sphère est le même que si la charge totale était au centre de celle-ci. Dans le cas d’une sphère pleine mais conductrice, le problème est identique vu que les charges seront reparties à la surface. Pour une sphère non conductrice avec une charge volumique ρ mC3 de même que pour une masse sphèrique de rayon R, on pourra considérer la somme d’une infinité de sphère vide concentriques ayant toute l’équivalence de leur charge ou masse au centre. Le référentiel sera matérialisé par un repère cartésien dont l’origine est au centre de la sphère. On va travailler en coordonnées sphériques et supposer sans perte de généralité que le point r où l’on mesure le champs électrique ou gravitationnelle est r = zez . Voir figure (1). Figure 1: Situation. Le symbole r est la distance r − r′ de l’intégrale (3) On est en présence d’une charge surfacique continue et non ponctuelle. Il faut donc adapter l’intégrale (1) à la situation. 2 ∥( r − r′ )∥ On peut définir dans notre cas, en se basant sur l’image (1), les équivalences suivantes: σ (r′ )da(r′ ) = dq = σR2 sin θdθdϕ (en utilisant l’élément diff. de surface en coord. sph.) = r 2 = R2 + z2 − 2Rz cos θ (Théorème du cosinus)) (Pour la projection de dE sur l’axe Oz.) R2 + z2 − 2Rz cos θ L’intégrale (3) devient: R2 + z2 − 2Rz cos θ σR2 sin θ (z − R cos θ ) ( R2 + z2 − 2Rz cos θ )3 sin θ (z − R cos θ ) ( R2 + z2 − 2Rz cos θ )3 sin θ (z − R cos θ ) ( R2 + z2 − 2Rz cos θ ) 2 (Théorème de Fubini) On applique le changement de variable u = cos θ: et du = − sin θdθ

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Les bornes d’intégration se transforment de la manière suivante: ( R2 + z2 − 2Rzu) 2 On intervertit les bornes pour absorber le signe moins, On effectue la substitution s = −1 ( R2 + z2 − 2Rzu ) 2 Ici je ne m’occupe pas des bornes car j’effectuerai la substitution en retour. Les bornes restent Avec cette substitution, l’intégrale devient: A présent on cherche la valeur de Ru en fonction de s. s = R + z − 2Ruz donc L’intégrale se transforme en:

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A présent j’effectue la substitution en retour avec s = 1 z2 − R2 − z2 − R2 − 2Ruz On peut à présent remettre les bornes et évaluer l’intégrale: R2 + z2 − 2uRz −1 Il faut à présent évaluer pour z < R et z > R. Dans le premier cas, pour z < R, on a: · (−1 − (−1)) = 0 En d’autres termes, le champ est nul à l’intérieur de la sphère. Dans le deuxième cas, pour z > R, on a: La valeur obtenue est La valeur au numérateur de la deuxième fraction n’est autre que la charge totale de la sphère, donc: On a donc démontrer que l’on pouvait considérer la charge totale comme une charge ponctuelle équivalente, placée au centre de la sphère (pour autant que la distance de laquelle on mesure E est plus grande que le rayon de la sphère).

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