Repères locaux et référentiels
Coordonnées curvilignes orthogonales, cylindriques et sphériques
Repères locaux associés
Accélérations en coordonnées sphériques
Justification de l’utilisation de repères locaux associés
Lorsque l’on place un système de coordonnées (ou repère), on est habitué à le placer à un point précis de
notre diagramme des forces. Nous allons voir qu’il est très pratique de placer l’origine du repère sur le
point matériel dont on étudie le mouvement surtout si mouvement est complexe. On appelle ces repères
mobiles, des repères locaux associés. Dans cette brochure nous allons voir les repères locaux associés
polaires, cylindriques et sphériques.
Le fait de placer une origine sur un point qui se déplace n’est finalement pas trop étrange, vu que l’important
pour des vecteurs de base est de donner des directions dans l’espace sur lesquelles on projette nos forces.
Ensuite, on peut appliquer la seconde loi de Newton, ce qui permet d’obtenir des équations du mouvement
dans chacunes des directions.
Il peut paraître étrange de travailler avec des vecteurs de base qui changent de direction continuellement.
On va voir que l’idée est finalement très intéressante et pratique.
Pour illustrer le concept, on va prendre comme exemple une simple particule (point P) qui se déplace sur
un cercle (figure 1). L’intensité de la vitesse de P n’est pas forcément constante.
Figure 1: Cercle d’équation x (t)2 + y(t)2 = ρ2 sur
lequel se déplace le point P. Les composantes x et
y sont fonction du temps. ρ qui est le rayon de la
trajectoire est bien sûr une constante.
Le vecteur position OP = ρ est donné par
ρ = OP = x (t)e x + y(t)ey
REPÈRE POLAIRE ASSOCIÉ
En tenant compte de l’équation de la trajectoire et en posant x (t) ≡ x, on obtient le vecteur position:
ρ = x e x + ρ2 − x 2 e y
La vitesse de P est obtenue en dérivant la position ρ. En tenant compte de la dépendance des composantes
par rapport au temps, cela donne:
Il reste à dériver la vitesse pour obtenir l’accélération. L’opération devient un peu laborieuse! Bref, après
quelques acrobaties, on obtient l’accélération du point P qui est:
x3 ẍ − ẋ2 ρ2 − x ẍρ2
En physique, énormément de mouvement ont des symétries cylindriques et sphériques. On va profiter de
ces symétries pour utiliser des repère locaux associés adéquats.
Repère polaire associé
On a vu au paragraphe précédent que l’expression donnant l’accélération d’une particule qui suit un
mouvement circulaire est quelque peu lourde.
En résumé on a, en coordonnées cartésiennes:
x3 ẍ − ẋ2 ρ2 − x ẍρ2
Pourquoi ne pas utiliser des coordonnées polaires pour donner la position du point P? C’est justement ce
que l’on va faire. Les coordonnées polaires sont données par (r; θ (t)) où θ (t) est une fonction du temps et
r le rayon du cercle.
Pour les composantes x et y on a:
x (t) = r cos θ (t)
La position est à présent donnée par
r(t) = r cos θ (t) e x + r sin θ (t) ey
AccueilREPÈRE POLAIRE ASSOCIÉ est un vecteur unitaire colinéaire au vecteur position. Pourquoi pas l’utiliser comme vecteur de base d’un nouveau repère, en posant: Le résultat est élégant! Continuons en recherchant la vitesse. Mais à présent, le vecteur de base n’a plus une direction constante dans le temps comme l’avaient e x et ey . Il va falloir le dériver en appliquant la règle de Leibniz au produit rer . (ṙ = 0 car r =cte) La dérivée du vecteur er est la dérivée de est unitaire, perpendiculaire au vecteur er et tangent à la trajectoire circulaire. On le choisit comme second vecteur de base. La vitesse du point P dans la nouvelle base est: L’accélération est: = ṙ θ̇eθ + r θ̈eθ + r θ̇ = r θ̈eθ + r θ̇ Le vecteur eθ est le vecteur unitaire (ṙ = 0 car r =cte) dont la dérivée par rapport au temps est θ̇ En substituant dans (11), on a l’accélération a(t) = r θ̈eθ − r θ̇ 2 er Dans le repère polaire associé à P, la position, la vitesse et l’accélération sont:
Accueila(t) = r θ̈eθ − r θ̇ er Les équations sont simples et élégantes en comparaison de leurs équivalences en coordonnées cartésiennes Cependant les calcul des dérivées des vecteurs de base er et eθ ont été facilitées par la simplicité de leurs projections sur la base cartésienne (Oe x ey ). Il existe un outil un peu plus simple pour le calcul de ces dérivées, ce sont le formules de Poisson. Rappelons que de manière générale, on va munir notre point P d’un repère associé othonormé et essayé de projeter la variation des vecteurs de base dans ce repère associé, sans devoir utiliser le repère (Oe x ey ez ). Il est bon de rappeler que si on utilise un repère local associé cela ne supprime pas le repère cartésien (Oe x ey ez ). Il y a une bijection entre les deux repères, de cette manière on pourra toujours choisir dans lequel des deux repères on veut donner les résultats. Les vecteurs des bases locaux associés sont unitaires et orthogonaux deux à deux. Il est donc facile de comprendre que si ces vecteurs subissent un changement de position, ce changement ne pourra être qu’une rotation par rapport au point d’origine du repère mobile. C’est le théorème d’Euler. 1 On commence par décider d’un système de vecteurs de base ei = (e1 , e2 , e3 ). Ce système est orthonormé, c’est-à-dire que tous les vecteurs ont une norme de 1 et qu’ils sont othogonaux deux à deux. Ce que l’on traduit par le symbole de Kronecker: On considère une variation infinitésimale dans le temps des vecteurs ei que l’on note par de dt ne sont pas unitaires, mais ils sont perpendiculaires aux vecteurs dont ils sont la dérivée. Si ei · ei = 1 alors (ei · ei ) = 2ei · i = 0 d’où on conclut que ei et de dt sont perpendiculaires. À présent on va projeter chacune des trois dérivées de dt sur les vecteurs de bases ei car on veut les étudier dt dans le système ei . Les opérations qui suivent vont permettre de trouver la matrice de passage de la base ei dans la base de 1Tout mouvement d’un solide indéformable ayant des points fixes peut être représenté par une rotation.
AccueilLes vecteurs de bases sont unitaires, donc si on en effectue le produit scalaire avec les dérivées de les projections de ces dernières sur les vecteurs ei . On peut utiliser la notation raccourcie2 Sous une autre forme, moins condensée, cela donne: Sous forme matricielle, on a: La diagonale principale est formée de termes nuls comme on l’a vu sous (15). De plus, on remarque une certaine symétrie entre les indexes des vecteurs de bases et de leurs dérivées. On retrouve en effet symétriquement à la diagonale principale, des termes de la forme: Ces termes montrent, deux à deux, une alternance dans les indexes. Si l’on additionne les deux expressions ci-dessus, on a la dérivée du produit scalaire de deux vecteurs unitaires, donc une grandeur nulle. (ei · ek ) = 0 =⇒ La matrice (17) est une matrice de rotation. C’est donc une matrice antisymétrique. On choisit le sens direct, donc le signe des entrées est donné par l’ordre des indices. En utilisant la lettre ω pour simplifier (et avec une idée derrière la tête), on a: 2 On se souvient que tout vecteur peut-être décomposé de la manière suivante: v = ∑ ( v · e i ) e i = ( v · e1 ) e1 + ( v · e2 ) e2 + ( v · e3 ) e3 = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3
AccueilOn peut à présent récrire (17) sous la forme: La matrice de rotation ci-dessus est la matrice de passage de ei dans de Choisissons un vecteur fixe quelconque r dans la base ei , on a: r = r1 e1 + r2 e2 + r3 e3 La dérivée de ce vecteur dans ei est le vecteur En utilsant la transposée de la matrice de passage on peut retrouver les composantes de dr − ω1 r 2 = ω3 r 1 − ω1 r 3 = ω2 ∧ r 2 Ce qui est équivalent au produit vectoriel: Cette formule est valable pour tous les vecteurs de longueur fixe. On peut maintenant énoncer les formules de Poisson pour les dérivées des vecteurs de bases du repère associé au point matériel P. où ω est le vecteur rotation instantanée dans le repère local associé.
AccueilVITESSES ET ACCÉLÉRATIONS EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES Vitesses et accélérations en coordonnées cylindriques Figure 2: Repère cylindrique associé. Dans ce repère, le vecteur position du En coordonnées cylindriques, le vecteur position d’un point P est donné par et le vecteur rotation instantanée ω est le vecteur Les formules de Poisson pour les différents vecteurs de bases sont: = ω ∧ eρ = ϕ̇ ez ∧ eρ = ϕ̇ eϕ = ω ∧ eϕ = ϕ̇ ez ∧ eϕ = −ϕ̇ eρ = ω ∧ ez = ϕ̇ ez ∧ ez = 0 Le vecteur vitesse est la dérivée temporelle de la position: = ρ̇eρ + ρϕ̇ eϕ + ż ez La vitesse en coordonnées cylindriques est: vcyl = ρ̇ eρ + ρϕ̇ eϕ + ż ez L’accélération est la dérivée temporelle de la vitesse: ρ̇ eρ + ρϕ̇ eϕ + ż ez
AccueilVITESSES ET ACCÉLÉRATIONS EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES + ρ̇ϕ̇eϕ + ρϕ̈eϕ + ρϕ̇ =ρ̈eρ + ρ̇ϕ̇ eϕ + ρ̇ϕ̇eϕ + ρϕ̈eϕ − ρϕ̇2 eρ + z̈ ez acyl =ρ̈eρ + ρ̇ =(ρ̈ − ρϕ̇2 )eρ + (ρϕ̈ + 2ρ̇ϕ̇)eϕ + z̈ ez acyl = (ρ̈ − ρϕ̇2 )eρ + (ρϕ̈ + 2ρ̇ϕ̇)eϕ + z̈ ez
AccueilVITESSES ET ACCÉLÉRATIONS EN COORDONNÉES SPHÉRIQUES Vitesses et accélérations en coordonnées sphériques La position d’un point P en coordonnées sphériques est donnée par: Le vecteur rotation instantanée ω est l’addition de deux vecteurs de rotation car les ccordonnées sphériques ω = θ̇ + ϕ̇ = θ̇eϕ + ϕ̇ez . On remarque que les rotations sont données dans deux repères différents. Il faut remédier à ceci, on veut le vecteur rotation dans le repère sphérique. Repère sphérique associé. Dans ce repère, le vecteur position du Il est facile de projeter le vecteur ϕ̇ dans le repère sphérique. On peut le faire par inspection de la figure (3). Le vecteur rotation totale dans le repère sphérique est la somme: ω = ϕ̇ez + θ̇eϕ = ϕ̇ cos θer − ϕ̇ sin θeθ + θ̇eϕ ω = −ϕ̇ sin θ + 0 Les formules de Poisson appliquée aux dérivées des vecteurs de base des coordonnées sphériques sont: = ω ∧ er = −ϕ̇ sin θ ∧ 0 = θ̇eθ + ϕ̇ sin θeϕ = ω ∧ eθ = −ϕ̇ sin θ ∧ 1 = −θ̇er + ϕ̇ cos θeϕ = ω ∧ eϕ = −ϕ̇ sin θ ∧ 0 = −ϕ̇ sin θer − ϕ̇ cos θeθ Le vecteur vitesse d’un point P en coordonnées sphériques est donné par: = (r er ) = ṙer + r En appliquant la première des trois formules de Poisson:
Accueilv = ṙ er + r θ̇ eθ + r ϕ̇ sin θ eϕ En dérivant le vecteur vitesse, on obtient l’accélération dans le repère sphérique associé: ṙ er + r θ̇ eθ + r ϕ̇ sin θ eϕ + ṙ θ̇eθ + r θ̈eθ + r θ̇ θ + ṙ ϕ̇ sin θeϕ + r ϕ̈ sin θeϕ − r ϕ̇ cos θ θ̇eϕ + r ϕ̇ sin θ En appliquant les formules de Poisson, on obtient l’accélération dans le repère associé sphérique qui est: a =r̈er + ṙ (θ̇eθ + ϕ̇ sin θeϕ ) + ṙ θ̇eθ + r θ̈eθ + r θ̇ (−θ̇er + ϕ̇ cos θeϕ )+ +ṙ ϕ̇ sin θeϕ + r ϕ̈ sin θeϕ − r ϕ̇ cos θ θ̇eϕ + r ϕ̇ sin θ (−ϕ̇ sin θer − ϕ̇ cos θeθ ) Finalement, en regroupant le tout on a: a = r̈ − r θ̇ 2 − r ϕ̇2 sin2 θ er + + r θ̈ + 2ṙ θ̇ − r ϕ̇ sin θ cos θ eθ + + (r ϕ̈ sin θ + 2ṙ ϕ̇ sin θ + 2r θ̇ ϕ̇ cos θ )eϕ [Feynman] R. Feynmann : Cours de physique EM2, 196x. [Bréchet] S. Bréchet: Cours de physique générale I, EPFL, 2022. [Wikipédia] Wikipédia : Portail des mathématiques, 2022. coordpoisson_coord_cyl_et_sph.pdf
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