Physique mathématique
Division de vecteurs
Division vectorielle
Choississons comme exemple d’introduction le mouvement circulaire uniforme caractérisé par les
— le vecteur vitesse angulaire ω,
— le vecteur rayon r et
— le vecteur vitesse tangentielle v.
La relation qui lie ces vecteurs est :
On donne les vecteurs ω = −1 et r = −1. En appliquant (1), on obtient le vecteur vitesse
v = −1 ∧ −1 = 2 .
A présent on se pose la question de savoir comment calculer ω en connaissant v et r, ou comment
calculer r en connaissant v et ω.
On sait que les expressions
sont inadéquates et que l’on ne sait pas comment les effectuer. On va cependant voir que dans ce
cas bien particulier on pourra définir ces opérations de “division” ainsi :
Un peu d’algèbre vectoriel
On se place dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et on considère l’équation
où ∧ est le produit vectoriel qui n’existe que dans les espaces vectoriels euclidien de dimension 3.
Cela tombe bien puisque c’est l’espace dans lequel on utilise la mécanique classique.
Supposons maintenant que X0 est un vecteur qui satisfait à l’équation (3). De part les propriétés
du produit vectoriel, le résultat V est perpendiculaire à X0 et à U.
U ∧ V = U ∧ (U ∧ X0 )
On peut développer le double produit vectoriel en utilisant la formule de Lagrange :
A ∧ (B ∧ C) = B(A · C) − C(A · B)
U ∧ (U ∧ X0 ) = U(U · X0 ) − X0 (U · U)
= U(U · X0 ) − X0 ∥U∥2
Dans un premier temps on va considérer que les vecteurs U et X0 sont perpendiculaire entre eux 1 ,
autrement dit (5) devient :
U ∧ V = U(U · X0 ) − X0 ∥U∥2
D’où on peut déduire en appliquant la propriété d’antisymétrie du produit vectoriel que
En résumé, la solution de l’équation vectorielle
Attention, dans le cas où l’équation est
le résultat devient :
On peut s’en convaincre en faisant le même raisonnement qu’auparavant.
En appliquant les formules (6) et (7) à l’exemple du mouvement circulaire uniforme on obtient
les résultats suivants :
−1 ∧ 2
1. On verra le cas où ces vecteurs ne sont pas orthogonaux plus loin
Accueil4 GÉNÉRALISATION DU PROCÉDÉ 2 ∧ −1 On voit que c’est correct. Généralisation du procédé Si X0 est solution de l’équation est également une solution de cette même équation. Démonstration. En substituant (11) dans (10) on obtient U ∧ (X0 + λU) = V Par distributivité on a U ∧ (X0 + λU) = V (U ∧ X0 ) + (U ∧ λU) = V (U ∧ X0 ) + λ(U ∧ U) = V car le produit vectoriel d’un vecteur avec lui-même est nul. On reprends l’équation (4) U ∧ (U ∧ X0 ) = U(U · X0 ) − X0 (U · U). Donc on peut la récrire ainsi U ∧ V = U(U · X0 ) − X0 (U · U) En appliquant l’antisymétrie du produit vectoriel on obtient :
Accueil4.1 Interprétation géométrique Le dernier terme du membre de droite vaut 0 lorsque X0 et U sont orthogonaux, c’est le cas que l’on a étudié plus haut. On peut récrire le tout. Finalement, la solution générale de U ∧ X0 = V est : λ est la projection de X0 sur Û. Interprétation géométrique Graphiquement on a la situation montrée à la figure (??) : fold) La grandeur V∧U posante perpendiculaire de X0 à U et la λÛ est la composante de X0 parallèlle à U. Supposons que l’on donne la vitesse v et la charge q d’une particule de masse m dans un champ magnétique B (v non perpendiculaire à B). On demande de calculer la force ressentie par la particule. On utilise la formule vectorielle : 2 , la vecteur force vaut : Supposons que q = 1, v = 3 et que B = Maintenant, supposons que l’on connaisse F et v, comment trouver B ? Calcul du vecteur champ magnétique En appliquant le résultat (14) on peut écrire :
Accueil5.1 Calcul du vecteur champ magnétique Vérification numérique On commence par calculer λ : λ = v̂ · B0 = √ On peut alors écrire : −3 ∧ 3 Connaissant toutes les grandeurs, on n’a fait que vérifier la formule. Si on ignorait totalement B0 , il faudrait au moins connaître son angle avec v.
Accueil