Fonctions d’une variable – Minimum requis

Fonctions d’une variable caldif1-minvit-2011-1 2.3 Applications de le différentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Minima requis – Fonctions d’une variable – Intégrales, séries entières, développements de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Minima requis – Fonctions d’une variable – 3 Solutions des exercices 3.2 Applications de la différentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Intégrales, séries entières, développements de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Minima requis – Fonctions d’une variable – Les brochures de la série «Minima requis» sont des receuils d’exercices de révision rapide avec peu d’explications théoriques. Elles présentent comme leur nom l’indique des exercices de bases, que tout élève de terminale ou d’année de maturité doit être capable de maîtriser. Les exercices que vous trouverez dans cette brochure sont inspirés avant tout de cours ouverts au public et diffusés sur internet par l’institut de technologie du Massachusetts (MIT). Les exercices notés d’un astérisque sont pour les élèves d’option maths-physique ou de mathsrenforcé, les exercices notés avec deux astérisques sont des exercices plus difficiles de niveau de début de premier cycle universitaire. ◦ Le symbole ⋄ marque la fin d’une démonstration. ◦ Le symbole −→ signifie que le passage de l’expression de gauche à l’expression de droite est basée sur des règles simples d’algèbre ou de logique. C’est en sorte une implication moins Trouver l’équation de la tangente à la courbe y = 13 x2 pour x = 1. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : pour la fonction définie par – Minima requis – Fonctions d’une variable – Esquisser la dérivée de la fonction représentée à la figure 1. Figure 1 – Exercice 2.2.4 Trouver pour quelles valeurs de a et b cette fonction est dérivable. Calculer les limites suivantes en les apparentant à des dérivées : – Minima requis – Fonctions d’une variable – Dériver la fonction f (x) = ax en utilisant la définition et identifier la valeur de M (a) dans le (ax )′ = ax · M (a) Evaluer les expression suivantes : a et k sont des constantes x en x = x0 en utilisant la définition de la dérivée. Calculer la limite suivante en l’apparentant à une dérivée : Esquisser le graphe de y = sin−1 x entre −1 ⩽ x ⩽ 1. Trouver la valeur de sa dérivée en partant de la dérivée de sin x. – Minima requis – Fonctions d’une variable – a) Trouver toutes les valeurs de a et de b de manière à ce que f soit continue. b) Trouver toutes les valeurs de a et de b de manière à ce que f soit dérivable. Trouver tous les points de l’équation x2 y + y 3 + x2 = 8 où la tangente est horizontale. Soit la fonction y = f (x), en quel point la tangente à la fonction au point (x0 ; y0 ) croise-t-elle Le volume d’un ballon diminue régulièrement de 10 cm3 par seconde. Quel est le taux d’accroissement du rayon au moment où le ballon a un rayon de 20 cm ? Trouver les discontinuités des fonctions suivantes : Une substance radioactive se désintègre selon la loi : où A(t) est la quantité de subtance présente à l’instant t et r une constante positive. A0 est la quantité de substance initiale. a) Quelle est le temps nécessaire pour que A(t) soit le quart de A0 . – Minima requis – Fonctions d’une variable – b) Au moment où la quantité de substance a diminué à 41 A0 , calculer le taux d’accroissement de substance radioactive en grammes par seconde. Evaluer les expressions suivantes : 1 − k cos2 t avec k constant. b) Vérifier a) en montrant que si k = 1 alors la dérivée correspond à celle obtenue par une méthode plus simple. en utilisant la définition de la dérivée. Evaluer les limites suivantes : – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de le différentiation Un épervier poursuit une souris qui court sur l’axe x dans le sens négatif. L’épervier plonge vers la souris en suivant une trajectoire y = ekx .A chaque instant l’épervier vise la souris directement. Le soleil est à la verticale. Calculer la distance entre l’ombre de l’épervier x0 et la position de la souris m0 en fonction de la constante k. Applications de le différentiation Faire l’étude complète de la fonction f : R → R donnée par f (x) = 3×5 − 5×3 + 1. Trouver l’intervalle de la forme [n; n + 1], n ∈ Z, dans lequel la fonction possèdent chacune de ses racines. Figure 2 – Exercice 2.3.2 Donner l’aire minimum du triangle de la figure 2 ayant pour seule contrainte une droite de pente négative passant par le point (1; 2) qui est l’hypothénuse du triangle. Un arbre de 200 pieds est abattu. Le soleil est au zénith. Lorsque l’arbre fait un angle de 30◦ avec l’horizontale, le taux d’accroissement de la longueur de l’ombre est de 50 pieds/sec. Quelle est le taux d’accroissement de l’angle avec l’horizontale, à ce moment précis ? – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de le différentiation Calculer les approximations linéaires et quadratiques, pour de petites variations autour de zéro, des fonctions suivantes : Comment doit être choisi le paramètre λ de la fonction de manière à ce qu’une toute petite variation reste proche de 1 lorsque x varie très faiblement autour A l’aide du théorème des accroissements finis démontrer que a) si f (x) est dérivable et f ′ (x) > 0 pour tout x, alors f (x) est une fonction croissante. b) ex > (1 + x) pour tout x > 0. – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de le différentiation Trouver la fonction y(x) satisfaisant l’équation La vitesse à laquelle un corps chauffe est proportionnelle à la différence entre sa propre température T et la température du milieu ambiant Te . On cuit un poisson, initialement à la température de 20C ◦ , dans de l’eau bouillante (100C ◦ ). Après 5 minutes, sa température moyenne est de 30C ◦ . Au bout de combien de temps encore, sera-t-il tout à fait cuit (60C ◦ ) ? a) Poser l’équation différentielle pour la temperature T (t) du poisson (choisir une constante de proportionnalité k). b) Résoudre l’équation différentielle avec les données à disposition. Un projecteur tourne à vitesse angulaire constante. La période de révolution est de 8 minutes. Le projecteur est situé à 100 mètres du mur d’une prison de laquelle un prisonnier vient de s’échapper. Lorsque l’angle entre le mur et le faisceau est de 30◦ à quelle vitesse doit courir le prisonnier pour échapper au faisceau de lumière qui le poursuit ? a) Trouver la valeur de la constante c dans l’expression de manière à ce que la valeur de la fonction reste constante pour une approximation de premier ordre autour de zéro. b) Trouver la solution de l’équation différentielle qui satisfait la condition initiale x(0) = 1. – Minima requis – Fonctions d’une variable – Primitives et intégrales a) Utiliser le théorème des accroissements finis pour montrer que ln(x + 1) < x, ∀x > 0. b) Montrer que la fonction f (x) = x3 + x + c ne peut avoir qu’une seule racine quelque soit la Estimer les valeurs suivantes : Trouver les points critiques et les points d’inflexion de la fonction Trouver les primitives de : Soit f ′ (x) = ex et f (0) = 10. Trouver à l’aide du théorème des accroissement finis les entiers Primitives et intégrales – Minima requis – Fonctions d’une variable – Primitives et intégrales Calculer 0 x dx à l’aide de la définition de la limite d’une somme infinie. Soit la fonction définie par Sans résoudre montrer que b) Déterminer si F (x) est concave ou convexe sur [0; 1]. c) Donner en termes de valeur de F (x) la valeur de Si 0 f (t) dt = e2x cos x + c, trouver c et f (t). Trouver la contenance d’un récipient dont la forme est obtenue par rotation autour de l’axe y de la fonction x sur l’intervalle x ∈ [0; a]. – Minima requis – Fonctions d’une variable – Primitives et intégrales Figure 3 – Exercice 2.4.5 Calculer le volume obtenu en faisant tourner l’aire de la figure 3 autour de l’axe y. en appliquant la transformation trigonométrique cos 2x = cos2 x − sin2 x. Utiliser la dérivée de x ln x pour calculer a) Trouver F ′ (x) et les points critiques de F (x). Expliquer leur nature. – Minima requis – Fonctions d’une variable – Primitives et intégrales c) Montrer que F (x) ⩽ x3 si x > 0. Soit la fonction f (x) = x sur l’intervalle [0; a]. Quelle est la surface moyenne d’un disque obtenu en faisant effectuer à la fonction une rotation autour de l’axe x. A quel point de l’intervalle correspond cette valeur ? Une pluie acide tombe durant 10 heures dans un bassin fermé de un mètre carré de surface. La pluie tombe à raison de r(t) = t2 (10 − t2 ) cm/h. À t = 0 la pluie contient 2 nanogrammes d’acide par cm3 . La concentration d’acide décroit linéairement durant le temps où il pleut jusqu’à atteindre 1 nanogramme par cm3 . Poser l’intégrale qui donne la quantité d’acide dans le bassin lorsque la pluie Trouver le volume du solide de révolution formé par la rotation autour de y de l’aire située entre la courbe f (x) = cos x2 et l’axe x (ne considèrer l’aire que jusqu’à la première intersection de la fonction avec l’axe x). a) Trouver F ′ (x) pour x > 0. Trouver également le(s) point(s) critique(s). b) Déterminer le signe de F (x) pour – Minima requis – Fonctions d’une variable – c) En utilisant un changement de variable adéquat exprimer la fonction Exprimer en fonction de x uniquement : – Minima requis – Fonctions d’une variable – en effectuant la substitution x = 2 tan u. a) Trouver une formule de réduction reliant dx. Exprimer 0 x2 e−x dx en fonction de F (x). Calculer le volume formé par la rotation autour de y de la région fermée située entre les axes x et y et la fonction y = cos x. Esquisser la fonction r(θ) = sin 3θ et calculer la surface enfermée par la courbe. Soit la représentation paramétrique x(t) = cos3 t et y(t) = sin3 t, 0 ⩽ t ⩽ π2 . a) Déterminer la longueur de l’arc que forme la courbe sur l’intervalle donné. b) Déterminer la surface latérale de révolution si on fait tourner cette courbe autour de l’axe des – Minima requis – Fonctions d’une variable – Écrire l’intégrale qui donne la longueur d’une arche √ de la fonction f (x) = sin x et en faire une estimation en comparant sa longueur avec la valeur π 2. Un disque circulaire en métal à une densité non homogène de fonction ρ(r) = r2 . Etablir et calculer l’intégrale définie permettant de calculer sa masse. a) Esquisser la courbe r(θ) = 1 + cos θ. b) Trouver les coordonnées polaires des deux points suivants : 1. Le point où la courbe décrite sous a) croise le cercle de rayon 32 centré à l’origine. 2. Le point où la courbe décrite sous a) croise le cercle de rayon 32 centré à x = 32 et y = 0. par substitution trigonométrique. Trouver le volume formé par la rotation autour l’axe y de la surface sous la courbe y = ex pour – Minima requis – Fonctions d’une variable – a) Poser l’intégrale définie donnant la longueur d’arc de la courbe y = sin2 x pour 0 ⩽ x ⩽ π4 b) Démontrer que la longueur de l’arc ne dépasse pas 1.2. Soit un cercle de rayon a et centré en (b; 0) avec a < b. Ecrire son équation en coordonnées rectangulaires et puis transformer en coordonnées polaires. Esquisser la spirale r(θ) = θ2 , 0 ⩽ θ ⩽ 3π a) Combien de fois la courbe passe-t-elle par l’axe des abscisses en comptant θ = 0. b) Trouver l’aire de la surface délimitée par les intervalles 0 ⩽ r ⩽ θ2 et 0 ⩽ θ ⩽ 2π. a) Trouver l’équation de la droite y = x − 1 en coordonnées polaires et l’exprimer sous la forme b) Trouver l’intervalle de θ pour lequel 0 ⩽ x ⩽ ∞. – Minima requis – Fonctions d’une variable – Intégrales, séries entières, développements de Taylor Transformer en coordonnées polaire la fonction f (x) = y = x−1 sous la forme r = r(θ). Trouver l’intervalle de θ pour lequel 0 ⩽ x < ∞. Solution Intégrales, séries entières, développements de Taylor Appliquer la règle de L’Hospital Calculer les limites suivantes – Minima requis – Fonctions d’une variable – Intégrales, séries entières, développements de Taylor Calculer les deux intégrales généralisées suivantes et donner les valeurs que p doit prendre dans les deux cas pour qu’elles soient convergentes (p > 0). Déterminer la convergence ou la divergence des intégrales généralisées suivantes en les comparant à des intégrales connues. Calculer les intégrales suivantes – Minima requis – Fonctions d’une variable – Intégrales, séries entières, développements de Taylor Trouver la somme des séries suivantes b) 8 + 2 + 12 + 18 + … Mettre en fraction rationnelle b) 0.001001001001…. Les séries suivantes sont-elles convergentes ? a) 1 + 12 + 31 + 14 + … Tests de convergence : a) Utiliser la comparaisons avec une intégrale pour tester la convergence de séries suivantes : b) Utiliser le test de comparaison des limites pour déterminer la convergence des séries suivantes : – Minima requis – Fonctions d’une variable – Intégrales, séries entières, développements de Taylor c) Utiliser le test du quotient pour déterminer la convergence des séries suivantes : d) Calculer le rayon de convergence des séries de puissances suivantes : Développer en série de Taylor les fonctions suivantes b) x2 + 5x + 6 en a = 0 c) x2 + 5x + 6 en a = 1 Calculer la valeur de sin 1 à laide d’un développement de Taylor jusqu’au terme en x5 . Estimer la précision du résultat en utilisant la formule pour le reste R5 (x). En utilisant le terme de reste, dire pour quelle valeur de n l’approximation sera-t-elle précise à 3 décimales près pour x = 1, c’est-à-dire pour le calcul de la valeur de e. Trouver les séries entières autour de x = 0 des fonctions suivantes : – Minima requis – Fonctions d’une variable – Intégrales, séries entières, développements de Taylor Déterminer les limites des expressions suivantes en utilisant les séries de puissances et non la règle de L’Hospital : x→0 ln(1 + x) − x – Minima requis – Fonctions d’une variable – Solutions des exercices Corrigé exercice 2.2.1 On s’intéresse à l’équation de la droite d(x) = mx + h passant par le point (x, y(x)) = (1; 13 ) de pente m = y ′ (1). Le calcul de la dérivée de y(x) donne Corrigé exercice 2.2.2 (1 − x) 2 + 12 x(1 − x)− 2 −2x sin 2x − cos 2x 2 · f ′ (x) · e2·f (x) = g ′ (x) Corrigé exercice 2.2.3 Isoler y donne en fait 4 expressions du style, 2( 81×4 +49152+9×2 ) −32 3 3 2( 81×4 +49152+9×2 ) −32 3 3 ce qui est assez lourd à dériver ! On choisit de dériver la fonction y 4 + xy = 4 implicitement. Il faut cependant bien vérifier au préalable que le point, où l’on désire calculer la pente, appartient bien à la courbe, ce qui est le cas ici, 1 + 1 · 3 = 4. – Minima requis – Fonctions d’une variable – Corrigé exercice 2.2.4 Figure 4 – Exercice 2.2.4 Corrigé exercice 2.2.5 Pour que f (x) soit continue en 1, il faut que : lim (ax + b) = lim (x4 + x + 1) Pour que f (x) soit dérivable en 1, il faut que : lim (ax + b)′ = lim (x4 + x + 1)′ f (x) est dérivable en 1 ⇐⇒ (a = 5 et b = −2). Corrigé exercice 2.2.6 a) Considérons la définition de la dérivée d’une fonction f (x) en x0 : Dans notre cas f (x) = (1 + 2x)10 et x0 = 0 donc (1 + 2x)10 − (1 + 2 · 0)10 Notre énoncé étant l’expression de la dérivée de f (x) au point x = 0, il suffit de calculer – Minima requis – Fonctions d’une variable – b) On identifie f (x) = Le résultat demandé est Corrigé exercice 2.2.7 Substituons la valeur x = x0 + h dans la définition de la dérivée (1). On obtient une définition équivalente mais d’une forme un peu différente f (x0 + h) − f (x0 ) et appliquons cette définition à la fonction f (x) = ax : M (a) est égal à ln(a) (par définition) et représente la pente de la fonction f (x) = ax au point x = 0. Si a = e alors la pente en x = 0 de ex est 1 et (ex )′ = ex · 1 = ex . Corrigé exercice 2.2.8 u→0 sin u u→0 2 cos u – Minima requis – Fonctions d’une variable – Corrigé exercice 2.2.9 a + k sin2 θ 3 · 2k · sin θ · cos θ En utilisant la définition de la dérivée (2). x + 3×20 h + 3×0 h2 + h3 − x30 = 3×0 + lim 3×0 h + h3 Ce calcul étant valable pour tout x0 , la dérivée de la fonction x3 est la fonction 3×2 . Corrigé exercice 2.2.10 On voit que l’expression est la définition de la dérivée de la fonction − 3 x au point x0 = 1. En effet, ∀x0 ∈ R+ : En évaluant en x0 = 1 on obtient bien, limh→0 1− h1+h , dont la valeur est Corrigé exercice 2.2.11 La figure 5 montre le graphe de la fonction f (x) = sin−1 sur l’intervalle On sait que la dérivée de la fonction y = sin(x) est dx = cos(x). En inversant cette dernière expression on aura la dérivée de la fonction inverse dy = cos(x) . On sait que cos(x) = 1 − sin2 (x) = √ 1 . Il ne reste plus qu’a échanger les valeurs de x et de y pour retrouver la convention qui veut que x soit la variable indépendante, d’où – Minima requis – Fonctions d’une variable – Figure 5 – Exercice 2.2.11 Corrigé exercice 2.2.12 Pour que f (x) soit continue en 0, il faut que : lim (ax + b) = lim (1 − x + x2 ) Pour que f (x) soit dérivable en 0, il faut que : lim a = lim (2x − 1) Pour que f (x) soit continue il suffit que b soit égal à 1. Si on désire que f (x) soit dérivable, il faut que les valeurs et les pentes coïncident lorsque la fonction tend vers zéro depuis la gauche et la droite, donc il faut que b = 1 et a = −1. Corrigé exercice 2.2.13 x2 y + y 3 + x 2 = 8 On commence par dériver implicitement 2xy + y ′ x2 + 3y 2 y ′ + 2x = 0 puis on égale la dérivée à zéro pour obtenir les points critiques x = 0 et/ou y = −1 Le point (0; 0) est à exclure car il n’appartient pas au graphe, en effet 0 ̸= 8. Pour y = −1 on recherche la valeur de x : −x2 − 1 + x2 = 8 −1 = 8 est impossible il ne reste plus que pour x = 0 que l’on trouve une valeur acceptable, Le seul point ayant une tangente horizontale est le point (0, 2) (voir figure 6). – Minima requis – Fonctions d’une variable – x2 y + x2 y + y3 ‡ 8 Figure 6 – Exercice 2.2.13 Corrigé exercice 2.2.14 On commence par écrire l’équation de la droite tangente en f (x) au point y − y0 = f ′ (x0 )(x − x0 ) où (x; y) est un point quelconque de la droite. La droite coupe l’abscisse lorsque y = 0 donc −y0 = f ′ (x0 )(x − x0 ) Corrigé exercice 2.2.15 V = 43 πr3 est le volume du ballon de rayon r. On nous donne la valeur dt = −10 et on désire dt . On peut écrire : dr , on inverse et on substitue dans l’équation ci-dessus. En introduisant les valeurs numériques : – Minima requis – Fonctions d’une variable – Corrigé exercice 2.2.16 a) La fonction est discontinue pour cos x = 0 donc pour les valeurs de x, π2 et 3π lement, la fonction est discontinue pour les valeurs 2 + kπ avec k ∈ Z. b) La fonction est discontinue pour x2 = 1, c’est à dire pour x = ±1. c) La fonction est continue sur R, mais n’est pas dérivable en x = 0. Corrigé exercice 2.2.17 a) Il faut poser A(t) = A40 et résoudre pour t, on simplifie A0 et on prend le logarithme en base 2 de chaque côté : b) Le taux d’accroissement est dA = −rA0 e−rt = −r · A(t) = −r · A0 = −A0 gr/sec Corrigé exercice 2.2.18 Corrigé exercice 2.2.19 · (−2k cos t · (− sin t)) – Minima requis – Fonctions d’une variable – b) Si k = 1 dans a) alors ce qui est bien le résultat obtenu en posant k = 1 dans √k1−k Corrigé exercice 2.2.20 On applique la définition 2. La dérivée de f (x) = x12 est f ′ (x) = − x23 . Corrigé exercice 2.2.21 b) Si l’on regarde bien l’expression donnée représente la dérivée de la fonction f (x) = ex en Il suffit donc de calculer la valeur de la dérivée de f (x) = ex en zéro : Corrigé exercice 2.2.22 Soit la figure 7 On recherche la valeur de x0 − m0 en fonction de la constante k. On commence par chercher l’équation générale de la droite tangente à la fonction ekt au point (x0 ; y0 ). y − y0 = f ′ (x0 )(x − x0 ) – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de la différentiation Figure 7 – Exercice 2.2.22 On s’intéresse au point (m0 ; 0), donc on pose y = 0 et x = m0 dans l’équation ci-dessus −y0 = f ′ (x0 )(m0 − x0 ) Applications de la différentiation Corrigé exercice 2.3.1 a) Domaine de définition et valeurs aux bornes de celui-ci : La fonction f (x) = 3×5 − 5×3 + 1 est un polynôme, son domaine de définition est R et ses b) Racines de la fonction : On cherche les valeurs de x satisfaisant f (x) = 3×5 − 5×3 + 1 = 0. On s’aperçoit que ce n’est pas une chose facile sans ordinateur. On laisse de côté pour le moment et on passe à la recherche des points critiques de la fonction, c’est-à-dire les points où la dérivée première f ′ (x) = 15×4 − 15×2 = x4 − x2 = x2 (x + 1)(x − 1) = 0 Les points critiques sont 0, −1 et 1. Il faut déterminer à présent la nature de ces points en s’aidant soit d’un tableau des signes soit de la dérivée seconde, utilisons celle-ci car les racines de la dérivée seconde vont nous donner les points d’inflexion : f ′′ (x) = 4×3 − 2x = 2x(2×2 − 1) = 0 −→ x ∈ 0, + On remarque que −1 et 1 √ un maximum (f ′′ (−1) < 0) et un minimum 2 , et − 2 sont des points d’inflexion. (f ′′ (1) > 0). Les points 0, + – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de la différentiation Figure 8 – Exercice 2.3.1 c) En étudiant les valeurs de f (x) on peut affirmer que : — f (−2) < 0 et f (−1) > 0 donc la fonction s’annule sur [−2; −1] — f (0) > 0 et f (1) < 0 donc la fonction s’annule sur [0; 1] — f (1) < 0 et f (2) > 0 donc la fonction s’annule sur [1; 2] Ces indications suffisent pour esquisser le graphe (voir figure 8). Corrigé exercice 2.3.2 Méthode géométrique On voit que l’aire du triangle sera minimum si les aires des triangles abc et def sont mimimums. Le rectangle de 2 sur 1 appartient à tous les triangles. (voir figure 2). Figure 9 – Exercice 2.3.2 L’aire du triangle abc en fonction de m est : – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de la différentiation L’aire du triangle def en fonction de m est : L’aire totale en fonction de m pris positivement est A = m 2 + m + 2. Il faut à présent dériver par rapport à m et égaler à zéro pour trouver un point critique (on ne sait pas encore s’il s’agira d’un minimum ou d’un maximum). La configuration de notre dessin nous fait choisir m = 2. Finalement A(1) > A(2) = 4 < A(3) est Autre méthode (analytique) L’équation de la droite est donnée par (voir figure 10) y − y0 = m(x − x0 ) y − 2 = m(x − 1) Figure 10 – Exercice 2.3.2 on obtient yhauteur pour x = 0 on obtient xbase pour y = 0 L’aire du triangle est · xbase · yhauteur = (2 − m)(1 − ) = 2 − On dérive et on égale à zéro : on retrouve le résultat précédent. – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de la différentiation Figure 11 – Exercice 2.3.3 Corrigé exercice 2.3.3 l’arbre est de 30◦ . La figure 11 nous montre la situation au moment où l’angle entre le sol et On peut également dériver implicitement cos θ = D par rapport à t, ce qui donne : Corrigé exercice 2.3.4 Pour l’approximation linéaire d’une fonction autour d’un point x0 , c’està-dire pour des valeurs de l’argument proches de x0 , on utilise l’expression : f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )x Pour l’approximation quadratique on a : f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )x + Dans cette exercice on demande les approximations pour des valeurs proches de zéro, donc on utilisera les deux expressions : f (x) ≈ f (0) + f ′ (0)x f (x) ≈ f (0) + f ′ (0)x + – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de la différentiation a) Pour f (x) = ex , on a les approximations : b) Pour f (x) = sin x c) Pour f (x) = cos x d) Pour f (x) = (1 + x)n Corrigé exercice 2.3.5 On a f (x) = 1+2 sin x . On est proche de zéro donc on peut utiliser les approximations suivantes : e−λx ≈ (1 − λx) (1 + 2 sin x)−1 ≈ (1 − 2x) Ce qui implique f (x) ≈ (1 − λx)(1 − 2x) = 1 − λx − 2x + 2λx2 . On désire que f (x) reste proche de 1, donc 1 = 1 − λx − 2x + 2λx2 1 = 1 − x(λ + 2) + 2λx2 L’approximation de premier ordre (en x) nous donne λ = −2, ainsi on aura f (x) = 1. Corrigé exercice 2.3.6 Le théorème des accroissements finis est : a) On commence par définir que a < b. Si f ′ (c) est positif (la fonction croissante) alors l’expression f (b) − f (a) est positive également, puisque (b − a) > 0. ⋄ b) Si ex > (1 + x) alors ex − 1 − x > 0. Si tel est la cas pour tout x > 0 alors la dérivée du membre de gauche de cette derniére expression doit être positive sur R+ (ex − 1 − x)′ = ex − 1 Ce qui est bien le cas : ex > 1, ∀x > 0. – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de la différentiation Corrigé exercice 2.3.7 a) On pose y = 3x + 2, donc dy = 3dx et on substitue : b) On pose sin 2x = 2 sin x cos x Corrigé exercice 2.3.8 On peut séparer les variables : En intégrant à gauche selon y et à droite selon x on obtient : Il s’agit à présent de donner une valeur à C en utilisant la condition initiale y(0) = 1 : −→ C = tan−1 (1) −→ C = La solution particulière de l’équation passant par le point (0; 1) est Corrigé exercice 2.3.9 L’équation de l’accroissement de la température du poisson par unité de On sépare les variables et on intègre ln(Te − T ) = kt + C1 On transforme en utilisant la puissance de e : Te − T = ekt+C1 = Cekt – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de la différentiation La fonction recherchée est : Il y a deux constantes inconnues. On trouve la valeur de C en utilisant le fait qu’à t = 0 le poisson a une température de 20C ◦ : La constante k peut être calculée en sachant qu’au bout de 5 minutes le poisson a une température T (t) = Te − 80 · ekt La fonction qui nous intéresse est : T (t) = 100 − 80 · e( 5 ln 8 )t Le graphe se trouve à la figure 12 En résolvant pour une température finale de 60C ◦ on obtient Figure 12 – Exercice 2.3.9 Corrigé exercice 2.3.10 En observant la figure 13, on peut définir la relation suivante entre les grandeurs qui nous intéressent : Il faut dériver cette relation implicitement par rapport au temps : – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de la différentiation Figure 13 – Exercice 2.3.10 dt représent la fréquence angulaire donnée par 8 min. = 480 = 240 . En substituant on Le prisonnier doit courir à plus de 18,85 km/h pour échapper au rayon lumineux à ce moment précis. Plus l’angle θ grandira plus son cosinus diminuera donc plus le prisonnier devra courir vite. Corrigé exercice 2.3.11 a) On fait une approximation linéaire de l’expression autour de zéro. L’approximation linéaire de e−x est (1 − x) et celle de (1 + cx) 2 est (1 + 12 cx) donc : e−x 1 + cx ≈ (1 − x)(1 + cx) ≈ 1 − x(1 − ) − Pour que la fonction reste constante, c’est-à-dire qu’elle conserve la valeur 1 lors d’une petite variation de x autour de zéro, il faut que le coefficient de x (terme linéaire) soit nul, donc b) On sépare les variables, on intègre des deux côtés, On introduit la condition initiale pour trouver c : x(t) = sin(t2 + c) et x(0) = 1 La fonction recherchée est x(t) = sin(t2 + π2 ). – Minima requis – Fonctions d’une variable – Applications de la différentiation Corrigé exercice 2.3.12 a) Il s’agit de démontrer que x − ln(x + 1) > 0. Par le théorème des accroissement finis on sait que si une fonction a une dérivée strictement positive sur un intervalle alors elle est srictement croissante autrement dit pour y > x, f (y) > f (x). (x − ln(x + 1))′ = 1 − Cette dernière expression est strictement positive sur ]0;