Calcul différentiel et intégral – Minimum requis

Analyse, calcul différentiel et intégral Dossier d’exercices et brochure des solutions 2.4 Suites, limites, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3 Réponses détaillées aux exercices 3.3 Suites, continuité, théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral L’analyse est un domaine fondamental des mathématiques, les exercices de ce dossier se limitent à l’étude des fonctions d’une seule variable. Il est indispensable, pour bien comprendre les notions clés de dérivée et d’intégrale, de commencer par le début, c’est-à-dire les ensembles de nombres, les suites, la notion de continuité et les théorèmes qui en découlent. Les exercices notés d’un astérisque sont pour les élèves d’option maths-physique ou de maths-renforcé, les exercices notés avec deux astérisques sont des exercices difficiles de niveau de début de premier cycle universitaire. ◦ Le symbole ⋄ marque la fin d’une démonstration. ◦ Le symbole −→ signifie que le passage de l’expression de gauche à l’expression de droite est basée sur des règles simples d’algèbre ou de logique. C’est en sorte une implication moins stricte que ⇒. Ensembles de nombres Décrire les principaux ensembles de nombres. Démontrer que le carré d’un nombre impair est un nombre impair Montrer que 2 est irrationnel. Faire la même démonstration avec Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.2 Ensembles de nombres Lorsque l’on fait la même démonstration avec que le résultat est un nombre rationnel. 4, qu’est-ce qui nous permet d’affirmer Soit a ⩾ 0 et b ⩾ 0. Démontrer que 12 (a + b) ⩾ Montrer que si une équation de la forme a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + . . . + an−1 x + an = 0 a une des ses racines qui est un nombre rationnel de la forme pq alors : Trouver les entiers a, b et c de sorte que pour tout x ∈ R : (x − a)(x − 10) + 1 = (x + b)(x + c) a) Montrer que pour tout entier n ⩾ 1 : Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.3 Suites numériques a) Soit x1 , …, xn ∈ R et yi , …, xn ∈ R. Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz, à savoir Montrer que pour tout x, y ∈ Q vérifiant x5 + y 5 = 2×2 y 2 , le nombre 1 − xy est le carré Montrer qu’entre deux nombres rationnels distincts, il y a un autre nombre rationnel. Donner la définition d’une suite numérique. Montrer en utilisant la définition de la convergence d’une limite que Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.3 Suites numériques Soit la suite (un ) donnée par son terme général : a) que (un ) est monotone croissante ; b) que (un ) est bornée ; c) que (un ) à une limite. Vérifiez à l’aide de la définition de la convergence d’une suite : Calculer les limites suivantes : limn→∞ n n4 + n + 5 − n2 Calculer les limites suivantes : Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.3 Suites numériques limn→∞ n2 cos n14 sin n13 limn→∞ 7nn cos n Montrer que la suite (xn ) définie par converge. Calculer sa limite. Pour 0 ⩽ α ⩽ 2, trouver la limite de la suite (xn ) définie par Montrer que la suite (xn ) donnée par converge. Quelle est sa limite ? Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.4 Suites, limites, continuité Suites, limites, continuité Montrer à l’aide de la définition de la limite que a) limx→2 (4x + 5) = 13 b) limx→−3 (|x| − x3 ) = 30 Calculer pour n ∈ N∗ et α ∈ R∗ . x3 − x 2 − x + 1 Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.4 Suites, limites, continuité Montrer comment on obtient les formules permettant de trouver la pente p et l’ordonnée à l’origine m, des asymptotes horizontales ou obliques d’une fonction f (x) : m = lim (f (x) − p · x) Pour quelles valeurs de α ∈ R, la limite x3 + 6αx6 − 7α4 x Trouver l’image Imf de la fonction de R dans R, donnée par La fonction est-elle injective ? Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.5 Calcul différentiel Montrer que la fonction f : ] − 1; 0[→]0; 1[ définie par est bijective. Calculer sa fonction réciproque f −1 . b) 22x − 2x+1 + 1 = 0 ln x + ln y 2 = 2 ln 6 Montrer que l’équation x5 + x3 + x + x − 1 = 0 admet une et une seule racine réelle. Soit f : [0, 3] → [0, 3] la fonction définie par a) Vérifier que Imf ⊂ [0, 3]. b) Montrer que f est k-contractante. c) Trouver son point fixe. Calcul différentiel Calculer la dérivée de la fonction f : R → R définie par Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.5 Calcul différentiel Calculer la dérivée de la fonction f : R → R définie par f (x) = sin 1 + x2 + x4 Calculer la dérivée de la fonction f : ] − π2 ; π2 [→ R définie par Soit α ∈ R. Montrer que : Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.5 Calcul différentiel Montrer que la fonction f : R → R définie par f (x) = x3 + x − 2 est bijective. Calculer (f −1 )′ (0). Soit f, g : R → R, les fonctions définies respectivement par : f (x) = x5 + 6 sin x + 1 Calculer (g ◦ f )′ (0). Étudier la nature des points stationnaires de la fonction f : R → R définie par f (x) = x3 − 5×2 + 3x + 6. Étudier la nature des points stationnaires de la fonction f : R → R définie par f (x) = x + sin x + cos x. Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.5 Calcul différentiel Trouver les quatre constantes α, β, µ et σ de sorte que la courbe C d’équation αx3 + βx2 + µx + σ admette un minimum local au point (0, 1) et un point d’inflexion au point (1, 3). Trouver les valeurs extrémales de la fonction polynomiale P (x) = x5 − 5×4 + 2 dans l’intervalle fermé [−4; 6]. Trouver les extrema de la fonction f : [ π2 , 2π] → R définie par Montrer que la fonction f : ] − π4 ; π2 [→ R définie par admet un maximum local en zéro. Montrer que la fonction f : ] − 1, +∞[→ R définie par admet un maximum local en zéro. Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.5 Calcul différentiel Montrer que la fonction f : ] − π4 , 3π f (x) = 3×2 + 8 cos x + sin x admet un point d’inflexion en 0. Soit la fonction f : ] − 1, 1[→ R la fonction définie par f (x) = ln(5 + arcsin x) Trouver son polynôme de Taylor d’ordre 2 autour de 0. Trouver le polynôme de Taylor d’ordre 6 autour de 0 pour la fonction f : R → R définie par f (x) = cos(cos x). Soit la fonction f : R → R la fonction définie par Trouver son polynôme de Taylor d’ordre 100 autour de 0. Calculer ln(1, 01) à 10−6 près. Montrer que l’équation admet une et une seule solution dans l’intervalle ouvert ]0, 1[. Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.6 Etudes de fonctions Soit f : ]0, +∞[→ R la fonction définie par a) Montrer que pour tout x ∈ ]0, +∞[ avec x ̸= b) En déduire que la suite (xn ) définie par xn+1 = f (xn ) et x0 = 2 converge. Calculer sa limite. Soit f : R → R une fonction dérivable. Montrer que a) f paire ⇒ f ′ impaire. b) f impaire ⇒ f ′ paire. c) f périodique ⇒ f ′ périodique. Étudier la fonction définie par Étudier la fonction définie par Étudier la fonction définie par Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.6 Etudes de fonctions Etudier la fonction définie par f (x) = (1 + x) 1 − x2 Étudier la convexité de la fonction f définie par f (x) = − sinh(x) sur l’intervalle [−1; 1]. A) Étudier la fonction f . B) Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection du graphe de f avec C)* Esquisser les graphes des fonctions g, h et i définies ainsi : Soit la fonction donnée par l’expression algébrique Déterminer a, b, c ∈ R de sorte à ce que le graphe de f passe par le point (1; 0) et admette les asymptotes d’équation x = 2 et y = 3. Soit P (x; y) un point quelconque de la parabole d’équation y = x2 − 1. a) Montrer que la distance de P à l’origine est δ(x) = x4 − x2 + 1. b) Déterminer le point le plus proche de l’origine. Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral On veut construire une boîte métallique (sans couvercle) de base carrée et d’une capacité de 4 m3 . Sachant qu’une plaque de métal coûte α fr./m2 et que chaque pliage ou soudure coûte β fr./m, trouver les dimensions de la boîte de sorte que son prix de revient soit minimal. Soit A = (x, 0), B = (1, 3) et C = (8, 4) trois points du plan. Trouver a de sorte que le périmètre du triangle ABC soit minimal. Soit A, B et P trois points du plan situés sur le cercle n. On suppose que sur n, les points A et B sont diamétralement opposés. Comment faut-il choisir le point P pour que le périmètre du triangle P AB soit maximal ? Soit un cône de rayon R = 5 et de hauteur H = 7. Inscrire dans ce cône un cylindre de Figure 1 – Cylindre inscrit dans un cône Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral Considérons la fonction f définie par f (x) = x2 + kx + k 2 où k ∈ R. a) Esquisser le graphe de la fonction f pour k = 1. b) Montrer que la fonction f est positive quelque soit le paramètre k. c) Exprimer en fonction du paramètre k l’aire du domaine limité par les axes, le graphe de f et la droite x = 1. d) Trouver la valeur du paramètre k pour laquelle, l’aire exprimée en c), est minimale. On se propose d’envoyer un colis de volume égal à 12 dm3 dont la forme est un parallèlépipède rectangle de base carrée. Son emballage est maintenu à l’aide d’une ficelle comme le Trouver les dimensions du colis permettant d’utiliser le moins de ficelle possible. Figure 2 – Paquet et ficelle On veut construire un enclos en forme de trapèze isocèle le long d’un mur rectiligne au moyen de 3 barrières AB, BC et CD de 2m de longueur. (voir figure 3) Calculer α pour que l’aire de l’enclos soit maximale. Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.8 Calcul intégral Figure 3 – Exercice 2.7.7 Soit la courbe Γ représentative de la fonction f donnée par f (x) = d’abscisse a de cette courbe (a > 0). a) Ecrire l’équation de la tangente en A à Γ et calculer les coordonnées B et C, points où cette tangente coupe les axes de coordonnées Ox et Oy. b) Déterminer a de telle sorte que la longueur du segment BC soit minimale. Deux couloirs de 1m et 2m de largeur se rencontrent à angle droit. On transporte une barre rigide parallèlement au sol. Quelle est la longueur maximale que peut avoir cette barre si l’on veut pouvoir la transporter d’un couloir à l’autre en la maintenant au sol. Décomposer en fractions rationnelles simples : x3 − 3×2 + 2x − 3 Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.8 Calcul intégral Calculer les primitives suivantes : Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.8 Calcul intégral cos2 θ − cos θ − 2 Calculer les primitives suivantes : Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.8 Calcul intégral Calculer les intégrales définies suivantes 3. Utiliser le changement de variable t = tan u 4. Utiliser le changement de variable sin ρ = t 0 sin (ρ) − 5 sin(ρ) + 6 Calculer les intégrales généralisées suivantes : Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.8 Calcul intégral Dans l’intervalle [−1; 1] on considère la fonction donnée par Le graphe de f (chaînette) est donné ci dessous. La rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre le graphe et cet axe, engendre un corps de révolution (catenoïde) qui sera utilisé comme pièce mécanique. Dans un souci de simplification, le constructeur remplace la fonction f par la fonction quadratique g(x) = x2 + 1. Figure 4 – Graphe de f Figure 5 – Catenoïde a) Montrer que f et g sont des fonctions paires. b) Calculer le volume de la pièce en utilisant la fonction f (au centième). Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 2.8 Calcul intégral c) Calculer le volume de la pièce en utilisant la fonction g (au centième). Calculer la surface latérale obtenue par la rotation autour de l’axe Ox de l’arc de la courbe compris entre les points d’abscisse x = 0 et x = 2. Calculer le volume du corps de révolution engendré par rotation autour de l’axe Ox de la f (x) = sin x + cos x limitée par les droites x = 0 et x = 2π. Soit Ω un cône circulaire droit de révolution. a) Calculer sa surface latérale. b) Calculer son volume. Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral Réponses détaillées aux exercices Ensembles de nombres Corrigé exercice 2.2.1 L’ensemble des nombres naturels N, est défini par énumération et ne comporte aucune structure si ce n’est celle d’ordre. Ce n’est pas un ensemble fait pour calculer, mais plutôt pour numéroter un à un les éléments d’un ensemble ou indicer une suite. Le zéro ne fait pas partie des nombres naturels mais il est beaucoup plus pratique de l’inclure. L’ensemble de entiers relatifs Z, peut être construit à l’aide de l’ensemble des nombres naturels en ajoutant à ce dernier l’opposé de chacun de ses éléments et le zéro (élément neutre de l’addition). Z = {−6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……} L’ensemble des nombres rationnels Q, est l’ensemble de toutes les fractions obtenues en plaçant au numérateur, un élément de l’ensemble des entiers relatifs et au dénominateur, un élément de l’ensemble des nombres naturels (sans le zéro, noté N∗ ). Le numérateur et le dénominateur doivent être premiers entre eux. | a ∈ Z ∧ b ∈ N∗ L’ensemble des nombres réels R, est formé par les nombres rationnels (ensemble Q) et les nombres irrationnels, c’est-à-dire tous les nombres qui ne peuvent pas être sous la forme d’une fraction de deux entiers premiers entre eux. Par exemple 2, π, e. La propriété la plus importante de R est sa complétude, c’est-à-dire le fait qu’il soit Corrigé exercice 2.2.2 Un nombre impair est un élément de l’ensemble : I(n) = {2n + 1 | n ∈ N} Si on élève un nombre impair au carré, on a : (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1 = 2m + 1 avec m = 2n2 + 2n et m ∈ N donc le carré d’un nombre impair est impair. On démontre de la même manière que le carré d’un nombre pair est pair. 1. La définition mathématique d’un espace complet est un espace dans lequel toute suite de Cauchy est Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.1 Ensembles de nombres Corrigé exercice 2.2.3 Supposons que 2 soit le nombre rationnel pq . Son carré sera : −→ p2 = 2 · q 2 p2 est un nombre pair (il est plus juste de parler de multiple de deux). Donc, p est également pair (voir exercice 2.2.2). On peut donc poser p = 2m, d’où −→ 2 · q 2 = 4 · m2 −→ q 2 = 2m2 La dernière équation nous indique que q est pair également. Mais p et q ne peuvent pas être pairs simultanément car ils sont censés être premiers entre eux (définition d’un nombre rationnel). L’affirmation faite au début, à savoir que peut être qu’irrationnel. ⋄ 2 est un nombre rationnel étant fausse, 2 ne Corrigé exercice 2.2.4 Supposons à nouveau que 3 est un nombre rationnel. = 2 −→ p2 = 3 · q 2 p2 est un multiple de 3. Est-ce que p est également un multiple de 3 ? La réponse est oui, il suffit pour s’en convaincre d’observer la suite numérique formée par les multiples de trois et de remarquer que chaque racine carrée entière d’un élément de cette suite, fait également partie de cette suite, donc est un multiple de 3. {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147, 150, ….} On peut poser p = 3m et (3m)2 = 9 · m2 = 3 · q 2 −→ q 2 = 3 · m2 Donc q est également un multiple √ de 3. L’assertion faite étant fausse pour les mêmes raisons que dans l’exercice précédent, 3 est un nombre irrationnel. Corrigé exercice 2.2.5 Si on effectue la même démarche avec −→ p2 = 4 · q 2 Maintenant prenons le carré parfait 36 dont la racine est 6. 36 est un multiple de 4 alors que √ ne2 l’est pas. On ne peut donc pas poser p = 4 · q. La démonstration par l’absurde échoue. 4 = 1 est un nombre rationnel. Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.1 Ensembles de nombres Corrigé exercice 2.2.6 1er cas : a = b ou a = b = 0. Le résultat est évident, il y a égalité. 2e cas : a > 0 et b > 0. Raisonnons √ par l’absurde et supposons comme étant vrai, l’événement contraire : 12 (a + b) < ab. −→ a2 + 2ab + b2 < 4ab −→ a2 − 2ab + b2 < 0 La dernière inéquation peut se réécrire (a − b)2 ⩽ 0, ce qui est toujours prouver que l’événement contraire est faux, l’expression 2 (a + b) ⩾ ab est juste. Corrigé exercice 2.2.7 a) En substituant le rationnel x = pq dans a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an = 0 , a0 n + a1 n−1 + . . . + an−1 + an = 0 En multipliant des deux côtés par q n : a0 pn + a1 qpn−1 + . . . + an−1 q n−1 p + an q n = 0 En divisant par p et en réarrangeant un peu : a0 pn−1 + a1 qpn−2 + . . . + an−1 q n−1 = − La partie gauche de l’équation est un nombre entier, de ce fait la partie droite également. Comme p et q sont premiers entre eux, on en déduit que p est un diviseur de an autrement dit que an ≡ 0 mod p. b) En partant de (1), mais en divisant cette fois par q : a1 pn−1 + . . . + an−1 q n−2 p + an q n−1 = − En appliquant le même raisonnement qu’en a) on déduit que a0 ≡ 0 mod q. Corrigé exercice 2.2.8 Le domaine de définition est R \ {2, −1} Du dessin on tire que x ∈] − ∞, −4]∪] − 1, 1]∪]2, +∞[ (voir figure 6) Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.1 Ensembles de nombres Figure 6 – Exercice 2.2.8 Corrigé exercice 2.2.9 L’équation devant se vérifier pour tout x, on choisit x = 10, ce qui donne une première relation entre les inconnues a, b et c : (10 + b)(10 + c) = 1 Comme (10 + b) et (10 + c) doivent appartenir à Z, les deux seules solutions possibles sont b = c = −9 et b = c = −11. On développe les deux membres de l’équation donnée : x2 − (10 + a)x + (10a + 1) = x2 + (b + c)x + bc En identifiant les monômes en x1 et x0 , on obtient 2 autres relations : Par substitution on arrive aux deux ensembles de valeurs possibles pour a ,b et c ces ensembles sont : (a, b, c) = (12, −11, −11) et (a, b, c) = (8, −9, −9). Corrigé exercice 2.2.10 a) Prenons la somme des huit premiers nombres naturels : k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 voit sur la figure 7 cette somme peut être écrite sous la forme de l’expression S = nk=1 k = 8·9 Si on prend une somme impaire de nombres, on arrive à la même expression comme on le voit sur la même figure 7. Cette formule peut s’appliquer pour un n quelconque. On peut le démontrer par On veut prouver que : Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.1 Ensembles de nombres Figure 7 – Exercice 2.2.10 Ancrage : On voit que pour n = 1 l’expression donne la bonne valeur, Assertion : On décide que l’égalité P (n) = Induction On démontre que P (n) entraîne P (n + 1) : Corrigé exercice 2.2.11 a1) Dans un premier temps réécrivons l’inégalité de Cauchy-Schwarz sous forme vectorielle :  x2   y2  yk2 ⇐⇒  ..  •  ..  ⩽ ∥x ∥2 ∥y ∥2  .   .  Après avoir pris la racine carrée et en utilsant la formule du produit scalaire, on obtient :  x2   y 2   ..  •  ..  = x • y = ∥x ∥ ∥y ∥ cos α ⩽ ∥x ∥ ∥y ∥ Ce qui donne une preuve vectorielle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.1 Ensembles de nombres a2) On peut également en donner une démonstration algébrique. Pour tout λ ∈ R : on notera que l’expression de droite est un polynôme du deuxième degré en λ, jamais négatif. Son discriminant ne peut donc pas égal ou plus grand que zéro. En posant : le calcul du discriminant donne b) En posant y1 , …, yk = 1, on obtient : Corrigé exercice 2.2.12 En supposant xy = 0 le résultat est juste. Pour xy ̸= 0, on transforme l’équation donnée, et on y substitue la valeur xy = t : En isolant x et y de ces équations : Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.2 Suites numériques En remplaçant ces deux valeurs obtenues dans l’expression 1 − xy : La dernière expression est bien le carré d’un nombre rationnel. Corrigé exercice 2.2.13 Le corps de nombres rationnels est stable pour les opérations d’additions et de multiplications (voir brochure Algèbre linéaire). Donc si a et b ∈ Q alors ∈ Q. Il suffit à présent de montrer que cette valeur est située entre a et b. Pour ce faire a) a < b ⇒ a + a < a + b ⇒ 2a < a + b ⇒ a < a+b b) a < b ⇒ a + b < b + b ⇒ a + b < 2b ⇒ Donc on a bien a < 2 < b. Corrigé exercice 2.3.1 Une suite (xn ) est l’ensemble de nombres réels xn obtenus en passant de manière successive toutes les valeurs de N comme arguments d’une fonction x : N → R. Corrigé exercice 2.3.2 Rappel : Une suite (un ) converge vers une limite ℓ si pour tout nombre réel positif ϵ (aussi petit qu’il soit) on peut trouver un nombre naturel N tel que pour tout nN > N on a |unN − ℓ| ⩽ ϵ ⋄ Démontrons en utilisant cette définition que Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.2 Suites numériques Cherchons N de manière à ce que pour tout nN ⩾ N , |unN − ℓ| ⩽ ϵ ⩽ ϵ −→ nN ⩾ Si par exemple on choisit pour ϵ la valeur 10−5 , on obtient : Corrigé exercice 2.3.3 a) Par définition (un ) est monotone croissante si un ⩽ un+1 −→ −35 ⩽ −10 ce qui est toujours vrai, donc un est une suite monotone croissante. b) Une suite bornée est une suite qui possède une borne inférieure et une borne supérieure. Remarquons d’abord que la valeur la plus basse que puisse atteindre la suite est − 72 pour n = 0. Pour la borne supérieure on voit sans trop de peine que la suite ne pourra jamais dépasser la valeur de 1. Ce que l’on peut vérifier facilement en supposant que un est supérieure à 1 et en recherchant la valeur de n : > 1 −→ (2n − 7) > (3n + 2) −→ −9 > n Comme n ne peut être que positif, 1 est bien une borne supérieure de un . c) On peut très bien donner une borne unique M = 4 et écrire |un | < M c’est-à-dire −4 < un < 4. Nous sommes en présence d’une suite possédant une infinité de termes, strictement croissante et bornée donc, convergente. Il est souvent suffisant de savoir qu’une suite est convergente, la valeur de la limite n’importe pas forcément. Corrigé exercice 2.3.4 Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.2 Suites numériques Exemple : Pour ϵ = 0.0001, nN = 32′ 498. Ce qui signifie qu’à partir de n = 32′ 498 la distance |un − ℓ| sera inférieure à 0.0001. Il y a 32′ 497 points de la suite éloignés de plus de 0.0001 de la limite 32 et une infinité de point entre 23 − 10′1000 et 32 . Corrigé exercice 2.3.5 (b) limn→∞ − n12 = limn→∞ n12 = 0 (c) On observe que : − n12 ⩽ cosn2 n ⩽ n12 ainsi, de par le théorème des deux gendarmes 3. Lorsque l’on est en présence d’un facteur dont l’un des termes est une racine carrée il est en général judicieux de multiplier par le conjugué du facteur. Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.2 Suites numériques 4. La suite de termes un = sin n est bornée par −1 et +1 mais n’est pas monotone. Son comportement est périodique. La limite de limn→∞ sin n n’existe pas car la suite un = sin n ne converge pas vers une limite unique. Corrigé exercice 2.3.6 1. On sépare premièrement les groupes de manière à pouvoir utiliser la règle de l’Hospital sin n13 l’Hospital 3 3 limn→∞ cos n13 2. On remarque que cos n ∈ [−1, 1] ce qui implique : On applique le critère de d’Alembert ρ = limx→∞ xxn+1 Nous avons ρ = 71 < 1 donc la suite converge vers zéro. 3. On applique le critère de d’Alembert : ρ = 0 < 1, la suite converge vers zéro. 4. On applique le critère de d’Alembert : ρ = lim 3n 3 · n = lim 3 = 0.14936 ρ = 0.14936 < 1, la suite converge vers zéro. Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.2 Suites numériques Corrigé exercice 2.3.7 Commençons par calculer quelques termes : x0 = 2; x1 = 5; x2 = La suite semble être strictement croissante, mais il faut le prouver en effectuant une démonstration par récurrence : a) On vérifie que x1 > x0 . En effet 5 > 2. b) On fait la supposition que pour tout n, On effectue ensuite les mêmes opérations de chaque côté de cette inégalité. Mettre au carré ne change pas la relation d’ordre, (xn+1 )2 > (xn )2 . Diviser par deux, ajouter 3 et prendre la racine du tout, non plus, on a finalement : > 3 + n −→ xn+2 > xn+1 On voit qu’en partant de xn+1 > xn , on arrive par des opérations légitimes à xn+2 > xn+1 . La suite est strictement croissante. c) Une rapide inspection des premiers termes de la suite nous montre qu’elle est bornée supérieurement par 3 et inférieurement par 1. Une suite strictement croissante et bornée, est convergente. Elle a donc une limite. c) On peut en déduire que pour des valeurs de n très grandes, on sera dans la situation limite où xn = xn+1 = ℓ. Ce qui se traduit par : Corrigé exercice 2.3.8 Par une construction à partir d’opérations simples on obtient : 2n + 0n < n 2n + αn < n 2n + 2n 2 < n 2n + αn < 2 · 2 Maintenant on remarque que : limn→∞ n 2 = 1. En appliquant de théorème des deux gendarmes on obtient le résultat : 2 < lim n 2n + αn < 2 ∀n ∈ N et 0 ⩽ α ⩽ 2 : Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.3 Suites, continuité, théorèmes Corrigé exercice 2.3.9 On calcule d’abord quelques termes : Il apparaît que la suite est strictement décroissante, mais il faut le vérifier algébriquement : 1. On vérifie que x1 < x0 . En effet 1 < 3. 2. On suppose que pour tout n, on a xn+1 < xn . 3. On procède ensuite par opérations simples à partir de cette supposition : (a) On multiplie des deux côtés par −1 : −xn+1 > −xn , (b) on ajoute 4 : 4 − xn+1 > 4 − xn (c) on inverse : xn+2 = On obtient ce que l’on désirait, autrement dit que pour tout n, 4. Une rapide inspection des premiers termes de la suite nous montre qu’elle est bornée supérieurement par 3 et inférieurement par 1. Une suite strictement décroissante et bornée, est convergente. Elle a donc une limite. 5. On peut en déduire que pour des valeurs de n très grandes, on sera dans la situation limite où xn = xn+1 = ℓ. Ce qui se traduit par : Suites, continuité, théorèmes Corrigé exercice 2.4.1 a) On désire montrer que la limite de la fonction f : E → F (E = R et F = R) définie par f (x) = 4x + 5, a pour limite ℓ = 13 lorsque x tend vers a = 2. Premièrement la variable indépendante x doit être définie au voisinage de a = 2, autrement dit, il existe α > 0 (α peut être aussi petit que l’on désire), tel que ]2 − α; 2 + α[ est inclu dans E ∪ {2}. Ensuite, il s’agit de démontrer que lorsque la variable indépendante s’approche de a, la variable dépendante f (x) s’approche de ℓ, c’est-à-dire que pour tout ϵ > 0 (autour de f (x)), il existe δa,ϵ (autour de a et dépendant de a et ϵ) tel que |x − a| < δa,ϵ implique |f (x) − ℓ| < ϵ. ∃ δ2,ϵ : |x − 2| < δ2,ϵ ⇒ |(4x + 5) − 13| < ϵ |x − 2| < δ ⇒ |4x − 8| < ϵ −→ 4δ < ϵ ⇒ δ < Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.3 Suites, continuité, théorèmes On voit donc que pour n’importe quel ϵ, il suffit de choisir δ < 4ϵ pour satisfaire la définition de la limite d’une fonction en un point. On voit ici la nécessité de savoir qu’entre deux nombres réels quelconques il y a une infinité d’autres nombres réels, ceci nous permet d’être sûr que 4ϵ sera toujours défini. b) On applique le même raisonnement que dans l’exercice précédent. Afin de simplifier un peu les choses on va décider que la valeur de δϵ,a vaut 1 au maximum, ce qui ne gêne en rien car ce sont surtout les valeurs infiniment petites qui nous intéressent pour déterminer la limite de la fonction en a = −3. On désire montrer que : ∃ δ−3,ϵ : |x − (−3)| < δ−3,ϵ |x| − x3 − 30 < ϵ |x| − x3 − 30 ⩽ |x| − 3 + (−27 − x3 ) ⩽ |x+3|+|x3 +27| ⩽ |x+3|+|x+3|(x2 −3x+9) < ϵ Remarquons que (x2 − 3x + 9) est toujours positif et |x + 3| ⩽ 1 implique x = −4, |x| − x3 − 30 ⩽ |x + 3| + |x + 3|(x2 − 3x + 9) = 38 · |x + 3| < ϵ Il suffit donc de choisir δ = min(1; 38ϵ ). Corrigé exercice 2.4.2 Calculons la valeur de l’expression : On voit que le fait de remplacer x = 0 dans la fonction nous amène à une division par zéro (singularité). On peut réécrire la même limite après factorisation : Le fait que l’on s’intéresse à la limite et non à la valeur de la fonction en x = 0, nous permet de simplifier par x. La limite recherchée vaut donc 21 . Ce qui l’on peut vérifier sur le graphe de Corrigé exercice 2.4.3 a) On obtient une indétermination de type 00 . On peut appliquer la règle de l’Hospital. xn − 1 l’Hospital −→ n · lim xn−1 = n · 1 = n b) On obtient de même une indétermination de type 00 . On peut appliquer la règle de (x + α)n − αn l’Hospital Dossier d’exercices – Analyse, calcul différentiel et intégral 3.3 Suites, continuité, théorèmes Figure 8 – Exercice 2.4.2 Figure 9 – Exercice 2.4.4 Corrigé exercice 2.4.4 a) i) Soit le graphe (figure 9) de la fonction f : ] − ∞, −2[∪]2, +∞[→ R définie par La fonction est définie au voisinage de 2+ (à droite de x = 2). ii) La fonction est définie au voisinage de