Formulaires

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE L’introduction qui suit est plus un survol destiné à vous séduire qu’un voyage sur la terre ferme au cours duquel on prouverait tout, mais tout vient à point à qui sait attendre et l’essentiel sera démontré en fin d’année. # « ! n zk converge. Par Nous verrons plus tard dans l’année que pour tout z ∈ !, la suite complexe +→ ! zn k! n∈ » k=0 définition, sa limite est notée ez et appelée exponentielle (de) z. . ez = n! x n=0 Ne sommes-nous pas cependant en train de donner une deuxième signification à la notation e quand x est un réel alors qu’elle en a déjà une ? Heureusement non, les deux exponentielles coïncident. La fonction exponentielle qu’on vous a introduite en Première est en effet la seule fonction f ∈ #(#, #) pour laquelle f $ = f et f (0) = 1 et il se trouve que la nouvelle exponentielle possède ces propriétés. En principe, une somme infinie ne se dérive pas comme une somme finie, mais on peut montrer que dans le cas qui nous occupe, les choses se passent bien. Ainsi, pour tout x ∈ # :  » +→ # & ‘ +→ +→ +→ +→ ! nx n−1 +→ ! x n−1 ! xk ! 0n d $ x% d ! x n Gonflé ! ! d x n e = = = = = = ex et e0 = = 00 = 1. dx dx n=0 n! dx n! n! (n − 1)! k! n! n= 1 n=0 n=0 n=0 k=0 Plus généralement, étant donnés un intervalle I et une fonction ω ∈ #(I , !), dérivons la fonction complexe eω :  » +→ +→ +→ ! nω $ ω n−1 ! ω n−1 ! ωk ! ω n #$ Gonflé ! +→ $ ω %$ = = ω$ = ω$ = ω $ eω . e = n! n! (n − 1)! k! n= 1 n=0 n=0 k=0 Intéressons-nous à présent au produit de deux exponentielles et autorisons-nous à manipuler les sommes infinies avec légèreté. Nous verrons en fin d’année que les calculs qui suivent sont corrects, mais ça n’a rien d’évident. Pour tous z, z $ ∈ ! : +→ ! z$ j ! ! zi z$ j ! z i +→ ! z i z $ j +→ $ ez ez = × = = après regroupement des termes en fonction de i + j i! j=0 j! i! j! i! j! n=0 i, j⩾0 i=0 i, j⩾0 i+ j=n +→ +→ n & ‘ ! 1 ! z i z $n−i n i $n−i ! (z + z $ )n $ = zz = = = ez+z . i!(n − i)! n=0 n! i=0 i n! n=0 i=0 n=0 +→ n !! $ $ Qui eût cru que la relation ez+z = ez ez était une autre manière d’énoncer la formule du binôme ? En particulier, pour 1 tout z ∈ ! : ez e−z = e0 = 1, donc d’une part ez ‘= 0, et d’autre part z = e−z . e +→ ! z n +→ !zn z Autre relation utile, pour tout z ∈ ! : ez = = = e . En particulier, pour tout x ∈ # : n! n=0 n! n=0 ( (2 (eix ( = eix eix = eix eix = eix e−ix = eix−ix = e0 = 1, donc eix appartient à l’ensemble % des nombres complexes de module 1. On définit finalement les fonctions cosinus et sinus à partir de l’exponentielle complexe en posant pour tout x ∈ # : $ % eix + e−ix cos x = Re eix = 2 et $ % eix − e−ix sin x = Im eix = . 2i Les fonctions ainsi définies sont de banales fonctions de # dans # et pour tout x ∈ # : eix = cos x + i sin x. de module, cette relation montre que cos2 x + sin2 x = 1, et si nous la dérivons, que : d $ ix % cos$ (x) + i sin$ (x) = e = i × eix = i × (cos x + i sin x) = − sin x + i cos x, dx donc par identification des parties réelle et imaginaire : cos$ = − sin et sin$ = cos. Dernier calcul essentiel, pour tous x, y ∈ # : En termes cos(x + y) +i sin(x + y) = ei(x+ y) = eix ei y = (cos x + i sin x) (cos y + i sin y) $ % $ % = cos x cos y − sin x sin y + i sin x cos y + cos x sin y , donc par identification des parties réelle et imaginaire : et : cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Beurk ! Je ne m’aventurerai pas plus loin sur ce sentier qui pose plus de questions qu’il n’apporte de réponses. Si on suivait la piste jusqu’au bout, on parviendrait à définir le nombre π lui-même à partir de l’exponentielle complexe en montrant que les solutions de l’équation eix = 1 d’inconnue x ∈ # sont tous les multiples d’un certain réel positif, 2π par définition. Mais trève de bavardages ! Oubliez les détails et retenez ceci : LA TRIGONOMÉTRIE EST FONDAMENTALEMENT UNE AFFAIRE i(x+ y) = eix ei y est clairement plus satisfaisante que les deux formules d’addition cos(x + y) = . . . et sin(x + y) = . . . L’exponentielle complexe est le thème de ce chapitre et le bon objet duquel nous partirions proprement si nous en avions les moyens. Nous ne les avons pas à ce stade de l’année, c’est comme ça, et je m’appuierai désormais uniquement sur vos connaissances du lycée. DE NOMBRES COMPLEXES. Bien que ! ait pu vous sembler artificiel au premier abord, la relation unique e 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 1 FONCTIONS COSINUS, SINUS ET TANGENTE 1.1 RELATIONS DE CONGRUENCE Définition (Relations de congruence, ensembles α& + β ) Soit α, β ∈ #. Pour tous x, y ∈ #, on dit que x est congru à y modulo α, ce qu’on note : x ⇐ y [α], si pour un certain k ∈ & : x = y + kα. ) * ) * L’ensemble x ∈ # | x ⇐ β [α] = β + kα | k ∈ & est généralement noté α& + β ou β + α&. Exemple • Être pair c’est être congru à 0 modulo 2, être impair c’est être congru à 1 modulo 2. L’ensemble des entiers pairs est donc 2& tandis que l’ensemble des entiers impairs est 2& + 1. π 3π • Les mesures d’angles orientés sont définies modulo 2π : 11π ⇐ π [2π] et − ⇐ [2π]. 2 2 + , π π • On peut généraliser la notation « α& + β ». Par exemple, − , + π& est l’ensemble des réels de la forme x + kπ, + π π, -π . + π π, 2 2 et k décrivant &. Dans ce cas particulier, il se trouve que − , + π& = # \ + π& . x décrivant − , 2 2 2 2 2 1.2 FONCTIONS COSINUS ET SINUS Définition-théorème (Fonctions cosinus et sinus, lien avec le cercle trigonométrique) • Lien avec le cercle trigonométrique : Pour tout θ ∈ # : cos2 θ + sin2 θ = 1. 2 2 ! sin θ 2 Réciproquement, pour tout couple (x, y) ∈ # pour lequel x + y = 1, il existe un réel θ , unique modulo 2π, pour lequel (x, y) = (cos θ , sin θ ). En termes géométriques, tout point du cercle trigonométrique a des coordonnées de la forme (cos θ , sin θ ). π− y ! ! y sin x = sin y si et seulement si x vaut y ou π − y modulo 2π. −y cos x = cos y si et seulement si x vaut y ou − y modulo 2π. sin y cos y ! θ cos θ • Résolution d’équations : Pour tous x, y ∈ # : / cos x = cos y ⇒⇒ x ⇐ y [2π] ou x ⇐ − y [2π]. sin x = sin y ⇒⇒ x ⇐ y [2π] ou x ⇐ π − y [2π]. • Transformations affines : Les relations suivantes se lisent toutes sur le cercle trigonométrique. Pour tout x ∈ # : . . π π sin(x + π) = − sin x = cos x − x = cos x sin(π − x) = sin x sin x + sin 2 2 -π . π. cos(π − x) = − cos x cos x + cos cos(x + π) = − cos x = − sin x − x = sin x 2 2 D’après les relations : cos(x + π) = − cos x et sin(x + π) = − sin x, ajouter π dans un cosinus ou un sinus revient à le multiplier par −1. Ajouter kπ = π + . . . + π revient donc à multiplier par (−1) × . . . × (−1) = (−1)k pour tout k ∈ &. En d’autres termes : cos(x + kπ) = (−1)k cos x et sin(x + kπ) = (−1)k sin x. En particulier : et : Attention ! Exemple cos x = cos y ⇒⇒ À peine mieux : x = y. cos x = cos y ⇒⇒ cos(kπ) = (−1)k sin(kπ) = 0. x ⇐ y [2π]. π [π]. 4 Démonstration Cette équivalence se lit bien sur le cercle trigonométrique, . mais on peut aussi la démontrer π −x par le calcul. Pour tout x ∈ # : sin x = cos x ⇒⇒ sin x = sin Impossible 2 2 3  . π π π π π ⇒⇒ x ⇐ − x [2π] ou x ⇐ π − − x [2π] ⇒⇒ 2x ⇐ [2π] ou 0 ⇐ [2π] ⇒⇒ x ⇐ [π]. 2 2 2 2 4 Pour tout x ∈ # : sin x = cos x ⇒⇒ x⇐ 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Les valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente (paragraphe suivant) doivent être connues PAR CŒUR ! x 0 cos x 1 sin x 0 tan x 0 π 4 1 + 2 1 + 2 1 π 6 + 3 2 1 2 1 + 3 π 2 π 3 1 2 + 3 2 + 3 0 1 Définition-théorème (Fonctions cosinus et sinus, aspects fonctionnels) cos$ = − sin. • Fonction cosinus : La fonction cos est paire, 2π-périodique, indéfiniment dérivable sur #, et : • Fonction sinus : La fonction sin est impaire, 2π-périodique, indéfiniment dérivable sur #, et : sin$ = cos. sin x Pour tout x ∈ # : |sin x| ⩽ |x|. En outre : lim = 1, autrement dit sin x ≈ x pour x proche de 0. x→0 x y = cos x y = sin x ! π π 2 3π 2 ! Tangente en 0 d’équation y = x 2π ! π 2 ! 3π 2 ! 2π π ! sin x = 1 n’est rien de plus que le nombre dérivé de la fonction sin en 0. x Ensuite, la fonction sin est concave sur [0, π] car sa dérivée cos y est décroissante, donc x ∈ [0, π] : ( pour tout ( |sin x| = sin x ⩽ sin$ (0) x + sin 0 = 0. A fortiori, pour tout x ∈ [−π, 0] : |sin x| = (sin(−x)( ⩽ |− x| = |x|. Enfin, l’inégalité est triviale pour x > π et x < π : |sin x| ⩽ 1 ⩽ π ⩽ |x|. Démonstration La limite lim x→0 Théorème (Fonctions cosinus et sinus, formules d’addition et de produit) Pour tous x, y ∈ # : 5 14 sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x − y) − cos(x + y) sin x sin y = 2 5 sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y 14 sin(x + y) + sin(x − y) sin x cos y = 2 cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y 5 14 cos(x + y) + cos(x − y) cos x cos y = cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y 2 1 − cos(2x) 1 + cos(2x) Pour x = y, ces relations s’appellent formules de duplication : sin2 x = , cos2 x = , 2 2 sin(2x) = 2 sin x cos x et cos(2x) = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x. Les formules d’addition et de duplication doivent être connues PAR CŒUR — et ce même si les secondes découlent des premières. En revanche, vous devez juste savoir retrouver vite et bien les formules de produit, si possible de tête. 1.3 FONCTION TANGENTE Définition-théorème (Fonction tangente) + π π, • Définition et régularité : On appelle fonction tangente la fonction définie sur − , + π& par : 2 2 Impaire et π-périodique, tan est indéfiniment dérivable sur son ensemble de définition et : 1 tan$ = 1 + tan2 = . cos2 tan = sin . cos ! y = tan x ! sin θ −π − π 2 π 2 θ tan θ cos θ π Merci Thalès ! grand 1 tan θ = = petit cos θ sin θ 3 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Définition-théorème (Fonction tangente (suite)) + π π, + π& : tan x = tan y ⇒⇒ x ⇐ y [π]. • Résolution d’équations : Pour tous x, y ∈ − , 2 2 • Formules d’addition et de duplication : Les formules suivantes sont vraies pour tous les réels x et y pour lesquels chaque terme est bien défini. tan x − tan y tan x + tan y 2 tan x , tan(x − y) = et tan(2x) = . tan(x + y) = 1 − tan x tan y 1 + tan x tan y 1 − tan2 x x x • Expression de cos x, sin x et tan x en fonction de tan : Pour tout x ∈ ] − π, π[+2π&, si on pose t = tan : 2 2 1 − t2 2t 2t cos x = , sin x = et tan x = . 2 2 1+ t 1+ t 1 − t2 tan$ = 1 + tan2 = 1 cos2 ne sert pas tant à calculer tan$ qu’à transformer cos en tan et vice versa. C’est comme ça qu’il faut la retenir ! x Les expressions de cos x, sin x et tan x en fonction de tan ne sont pas à connaître par cœur, vous devez en revanche 2 savoir qu’elles existent et savoir les retrouver rapidement en cas de besoin. La relation Démonstration + π π, + π&. • Définition : La tangente est définie là où le cosinus ne s’annule pas, i.e. sur − , 2 2 + , π π sin(−x) − sin x • Imparité : Pour tout x ∈ − , + π& : tan(−x) = = = − tan x. 2 2 cos(−x) cos x + , π π sin(x + π) − sin x sin x • Périodicité : Pour tout x ∈ − , + π& : tan(x + π) = = = = tan x. 2 2 cos(x + π) − cos x cos x On comprend ici pourquoi la fonction tangente est π-périodique alors que sinus et cosinus ne sont que 2π-périodiques, deux signes « moins » se simplifient. cos2 + sin2 1 sin$ × cos − sin × cos$ = , donc tan$ = = 1 + tan2 . • Dérivée : tan$ = 2 cos2 cos2 cos , π, • Variations et limites : Par imparité et π-périodicité, une étude sur 0, suffit. La fonction tangente est , π, 2 strictement croissante sur 0, car tan$ = 1 + tan2 > 0. En outre : lim − sin x = 1 et lim − cos x = 0+ , 2 x→ π x→ π 2 2 donc lim − tan x = +→. x→ π 2 sin y sin x = ⇒⇒ sin x cos y − cos x sin y = 0 cos x cos y ⇒⇒ sin(x − y) = 0 ⇒⇒ x − y ⇐ 0 [π] ⇒⇒ x ⇐ y [π]. ‘ & • Formule tan(x + y) : sin y sin x + cos x cos y sin(x + y) cos x cos y tan x + tan y sin x cos y + cos x sin y ‘= & tan(x + y) = = = . sin y sin x cos(x + y) cos x cos y − sin x sin y 1 − tan x tan y × cos x cos y 1 − cos x cos y x x. t+t 2t • Expressions en fonction de t = tan : tan x = tan 2 × = = , 2 2 2 1− t 1 − t2 x 2 tan . 2t x x x x 2 2 x puis : sin x = sin 2 × = 2 sin cos = 2 tan cos = x = 1 + t2 2 2 2 2 2 2 1 + tan 2t 2 2 1− t sin x 1 + t2 = . = et enfin : cos x = 2t tan x 1 + t2 1 − t2 • Équation tan x = tan y : 2 tan x = tan y ⇒⇒ FONCTIONS ARCCOSINUS, ARCSINUS ET ARCTANGENTE Périodiques, les fonctions cosinus, sinus et tangente ne sont pas injectives sur leurs ensembles de définition. Impossible 1 de leur trouver une réciproque ! Par exemple, l’équation cos x = d’inconnue x ∈ # a PLEIN de solutions, en l’occurrence 2 π π tous les réels congrus à ou − modulo 2π, et aucun de ces réels n’est a priori plus recevable que les autres. Cela dit, il 3 3 est intéressant d’observer que d’après le TVI strictement monotone : 4 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI — la restriction cos [0,π] est bijective de [0, π] sur [−1, 1], , π π+ — la restriction sin 6− π , π 7 est bijective de − , sur [−1, 1], 2 2 2 2 + , π π sur #. — la restriction tan 7− π , π 6 est bijective de − , 2 2 2 2 1 π L’équation cos x = d’inconnue x ∈ [0, π] ne possède à présent plus qu’une seule solution, à savoir . En restreignant 2 3 le champ des possibles, nous avons créé de l’injectivité. On aurait bien sûr pu choisir d’autres domaines que [0, π], mais ce choix arbitraire est désormais officiellement arrêté une fois pour toutes. cos Domaine privilégié tan + , π π − , 2 2 sin , + π π − , 2 2 [0, π] Définition (Fonctions arccosinus, arcsinus et arctangente) • Arccosinus : La fonction cos [0,π] est bijective de [0, π] sur [−1, 1]. Sa réciproque est appelée la fonction arccosinus et notée Arccos . Pour tout x ∈ [−1, 1], Arccos x est l’unique réel θ de [0, π] pour lequel cos θ = x. , π π+ sur [−1, 1]. • Arcsinus : La fonction sin 6− π , π 7 est bijective de − , 2 2 ,2 2 + π π Pour tout x ∈ [−1, 1], Arcsin x est l’unique réel θ de − , pour lequel sin θ = x. +2 2 , π π sur #. • Arctangente : La fonction tan 7− π , π 6 est bijective de − , 2 2 + π π, 2 2 Pour tout x ∈ #, Arctan x est l’unique réel θ de − , pour lequel tan θ = x. 2 2 y = Arccos x y=x y=x π ! y=x π 2 y = tan x π 2 ! ! y = sin x π 2 π − 2 − π 2 π 2 ! π 2 y = Arctan x π ! ! ! y = Arcsin x − π 2 π 2 π 2 ! y = cos x 1 2 π − 6 5π 6 3π 4 2π 3 + −→ − 3 −1 −1 Arcsin x − Arccos x π Arctan x + 3 − 1 + − 2 2 π π − − 4 3 x x Attention ! − − π 2 π 2 − π 3 − π 4 − 1 −+ 3 π − 6 0 0 π 2 0 0 1 2 π 6 1 + 2 π 4 + π 3 π 4 π 6 0 1 + 3 +→ π 4 π 3 π 2 1 + 3 π 6 3 2 π 3 1 π 2 Arccos n’est pas la réciproque de la fonction cosinus, mais celle de cos [0,π] et ça change tout. — Pour tout x ∈ [−1, 1], Arccos x est l’unique réel θ ∈ [0, π] pour lequel cos θ = x, donc cos Arccos x = x. — En revanche, pour tout x ∈ #, Arccos cos x est l’unique réel θ ∈ [0, π] pour lequel cos θ = cos x. Ce n’est donc pas forcément x ! Question : x appartient-il au domaine privilégié [0, π] ou non ? Par exemple : Arccos cos(2π) = Arccos 1 = 0 ‘= 2π. 5 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI VRAI : ∀x ∈ [−1, 1], cos Arccos x = x. FAUX : ∀x ∈ #, Arccos cos x = x. V RAI : ∀x ∈ [0, π], Arccos cos x = x. Cette mise en garde est bien sûr valable, en l’adaptant, pour les fonctions Arcsin et Arctan . Exemple Exemple 1 d’inconnue x ∈ #. 3 1 1 1 ⇒⇒ cos x = cos Arccos ⇒⇒ x ⇐ ± Arccos [2π]. Démonstration Pour tout x ∈ # : cos x = 3 3 ‘ &3 ‘ & 1 1 L’ensemble des solutions cherché est donc la réunion Arccos + 2π& ∪ −Arccos + 2π& . 3 3 On veut résoudre l’équation cos x = Arccos cos 2π 20π = 3 3 et Arcsin sin 20π π = . 3 3 20π sur le cercle trigonométrique ainsi que le Démonstration Dans les deux cas, on commence par placer 3 domaine privilégié de la fonction sinus ou cosinus concernée. 20π 20π appartient à 2π près au domaine privilégié du cosinus : ∈ [0, π] + 2π&. Il • Arccosinus : 3 3 suffit donc d’ôter un certain nombre de fois 2π et c’est fini. 20π 20π , π π + • Arcsinus : N’appartient PAS au domaine privilégié du sinus : ∈ / − , +2π&, même à 2π 3 3 2 2 près. Nous pouvons cependant nous y ramener À SINUS CONSTANT grâce à la relation : sin(π − x) = sin x. & ‘ 20π 2π 20π 2π π π , π π+ Par 2π-périodicité : sin = sin , puis sin = sin π − = sin , et bien sûr ∈ − , . 3 3 3 3 3 3 2 2 20π 3 ! 2π 3 ! 20π 3 [0, π] 2π 3 π 3 ! ! ! ! ! + , π π − , 2 2 Théorème (Lien entre les coordonnées cartésiennes et $ % les coordonnées polaires) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O, #” ı , #”  . Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x, y) et de coordonnées polaires (r, θ ).  y   Arctan [2π] si x > 0 9 x = r cos θ x y (i) et r = x 2 + y 2 . (ii) θ ⇐ y = r sin θ  π + Arctan [2π] si x < 0. x Démonstration $ % # ” (i) OM = x #” ı + y #”  = r cos θ #” ı + sin θ #”  , = # ”= 9 nées. Enfin r = =OM = = x 2 + y 2 . M y ! r #”  θ ! O #” ı x donc x = r cos θ et y = r sin θ par identification des coordon- + , y π π r sin θ (ii) Cas où x > 0 : Pour un certain k ∈ & : θ − 2kπ ∈ − , , or tan(θ − 2kπ) = tan θ = = , 2 2 r cos θ x y y donc θ − 2kπ = Arctan , et enfin θ ⇐ Arctan [2π]. x x ? > + , π π π 3π , , donc θ − 2kπ − π ∈ − , , or Cas où x < 0 : Pour un certain k ∈ & : θ − 2kπ ∈ 2 2 2 2 y y tan(θ − π − 2kπ) = tan θ = , donc θ ⇐ π + Arctan [2π]. x x On a choisi d’exprimer θ comme une arctangente, mais on aurait pu l’exprimer comme un arccosinus ou%un arcsinus, la $ stratégie est toujours la même. On place le point M dans l’un des quatre quadrants que le repère O, #” ı , #”  délimite, puis selon qu’on souhaite atteindre un arccosinus ou un arcsinus, on ramène θ dans le domaine privilégié adapté. + π , Avec les notations du théorème, faisons l’hypothèse que x > 0 et y < 0. On peut donc choisir θ dans − , 0 , 2 mais comment l’exprimer comme un arccosinus ou un arcsinus ? Exemple 6 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Démonstration • Arccosinus : θ n’appartient pas au domaine privilégié [0, π], même à 2π près, mais nous pouvons l’y x ramener À COSINUS CONSTANT grâce à la relation cos(−x) = cos x. Ainsi cos(−θ ) = cos θ = , et comme r x x −θ appartient à [0, π] : −θ = Arccos , donc θ = −Arccos . r r + , y y π π et sin θ = , donc θ = Arcsin . • Arcsinus : θ appartient au domaine privilégié − , 2 2 r r Théorème (Propriétés des fonctions arccosinus, arcsinus et arctangente) • Une relation mixte : Pour tout x ∈ [−1, 1] : cos Arcsin x = sin Arccos x = + 1 − x 2. • Arccosinus : Arccos est continue sur [−1, 1] MAIS dérivable seulement sur ] − 1, 1[. Pour tout x ∈ ] − 1, 1[ : 1 Arccos $ (x) = − + . 1 − x2 • Arcsinus : Arcsin est impaire et continue sur [−1, 1] MAIS dérivable seulement sur ]−1, 1[. Pour tout x ∈]−1, 1[ : 1 Arcsin $ (x) = + . 1 − x2 1 • Arctangente : Arctan est impaire et indéfiniment dérivable sur #. Pour tout x ∈ # : Arctan $ (x) = . 1 + x2 La non-dérivabilité d’Arccos et Arcsin en ±1 s’explique bien géométriquement, les tangentes horizontales de sin et cos deviennent verticales quand on les symétrise par rapport à la droite d’équation y = x. Démonstration (Fonction arcsinus) + , π π sur [−1, 1] et continue/impaire, • Continuité/imparité : La fonction sin 6− π , π 7 est bijective de − , 4 5−1 2 2 2 2 donc d’après le théorème de continuité/imparité d’une réciproque, sa réciproque Arcsin = sin 6− π , π 7 2 2 est continue/impaire sur [−1, 1]. , + π π • Relation cos Arcsin x : Pour tout x ∈ [−1, 1] : Arcsin x ∈ − , , donc cos Arcsin x ⩾ 0, donc : 2 2 9 ( ( 9 cos Arcsin x = (cos Arcsin x ( = 1 − sin2 Arcsin x = 1 − x 2 . , + π π • Dérivabilité et dérivée : La fonction sin 7− π , π 6 est bijective de − , sur ] − 1, 1[, dérivable, et sa 2 2 + π π 2, 2 dérivée sin$ = cos ne s’annule pas sur − , , donc d’après le théorème de dérivabilité d’une réciproque, 2 2 Arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[ et pour tout x ∈ ] − 1, 1[ : 1 1 1 = =+ . Arcsin $ (x) = $ sin ′ Arcsin (x) cos Arcsin x 1 − x2 Le théorème de dérivabilité ne nous dit rien de la dérivabilité d’Arcsin en ±1 car cos$ (0) = cos$ (π) = 0, mais on peut montrer qu’Arcsin N’est PAS dérivable en ces points. Démonstration (Fonction arctangente) Il s’agit là aussi essentiellement d’utiliser le théorème de dérivabilité/imparité d’une réciproque. La situation est cependant plus simple car tan$ (x) = 1 + tan2 x '= 0 pour tout x ∈ #. Pas de tangente horizontale sur le graphe de la fonction tangente, donc pas de problème de dérivabilité 1 1 1 pour Arctan . Pour tout x ∈ # : Arctan $ (x) = = = . tan$ ′ Arctan (x) 1 + tan2 Arctan x 1 + x2 Exemple Exemple 3 4 est l’unique solution de l’équation Arcsin x = Arccos d’inconnue x ∈ [−1, 1]. 5 5 + , π π : y = Arcsin x ⇒⇒ x = sin y par définition Démonstration Pour tous x ∈ [−1, 1] et y ∈ − , , π π+ 2 2 de l’arcsinus. Le point important qu’on oublie trop facilement, c’est que LE RÉEL y DOIT APPARTENIR À − , , + 2 2 4 π 4 pour que cette équivalence soit vraie. En l’occurrence, ici : Arccos ∈ 0, car ∈ [0, 1]. Du coup, pour 5 2 5  tout x ∈ [−1, 1] :  & '2 B 3 4 4 4 = . ⇒⇒ x = sin Arccos ⇒⇒ x = 1− Arcsin x = Arccos 5 5 5 5 Pour tout x ∈ [−1, 1] : Arcsin x + Arccos x = π . 2 7 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI f Démonstration Il s’agit de montrer que la fonction x ∞−→ Arcsin x + Arccos x est constante sur [−1, 1] de valeur π . Or cette fonction est dérivable sur l’INTERVALLE ouvert ] − 1, 1[ et sa dérivée est la fonction nulle, donc f est 2 π π constante. Quelle valeur ? Nous pouvons la calculer en 0 par exemple : f (0) = Arcsin0+Arccos0 = 0+ = , 2 2 et f (1) et f (−1) valent la même chose par continuité de f sur l’intervalle fermé [−1, 1]. Exemple Exemple π 1 π 1 = et pour tout x < 0 : Arctan x + Arctan = − . x 2 x 2 f 1 Démonstration La fonction x ∞−→ Arctan x + Arctan est dérivable sur #∈ et pour tout x ∈ #∈ : x & ' 1 1 1 1 1 $ + − 2 × − = 0. f (x) = & '2 = 2 2 1+ x x 1+ x 1 + x2 1 1+ x ∈ Comme # = ]−→, 0[ ∪ ]0, +→[ N’est PAS un INTERVALLE, on ne peut pas en déduire que f est constante sur #∈ tout entier, mais seulement qu’elle l’est sur #∈+ et #∈− indépendamment. Quelles valeurs ? Calculons f (1) : π π f (1) = 2 Arctan 1 = 2 × = . Pour la valeur de f sur #∈− , remarquer simplement que f est impaire. 4 2 Pour tout x > 0 : Arctan x + Arctan On veut résoudre l’équation Arccos x = Arcsin x d’inconnue x ∈ [−1, 1]. Démonstration On a bien envie de passer au cosinus (ou au sinus) des deux côtés de l’équation, MAIS on modifie l’équation en faisant cela, on perd l’équivalence car en toute généralité : cos x = cos y =⇒ x = y, autrement dit la fonction cosinus N’est PAS injective sur #. Elle l’est sur de plus petits domaines sur lesquels elle est strictement monotone, par exemple [−π, 0], [0, π] ou [π, 2π]. C’est parti. Pour tout x ∈ [−1, 1] : Arccos x = Arcsin x ( ⇒⇒ cos Arccos x = cos Arcsin x + et Arcsin x ∈ [0, π] Cette équivalence ( est LE passage délicat, justifié plus loin. après contemplation du graphe de la fonction arcsinus 1 ⇒⇒ x 2 = 1 − x 2 et x ∈ [0, 1] ⇒⇒ x=+ . 2 Justification de l’équivalence ( : Cette équivalence est la seule difficulté de l’équation et on ne peut pas s’en tirer sans réfléchir. N’espérez pas « la méthode » qui vous évitera de réfléchir, il n’y en a pas. ⇒⇒ — L’implication : x= Arccos x = Arcsin x 1 − x2 et x ∈ [0, 1] cos Arccos x = cos Arcsin x =⇒ est sans difficulté. — Le retour n’est possible en revanche que si Arccos x et Arcsin x appartiennent à un même domaine , d’injec-+ π π tivité de la fonction cosinus. Ici, Arccos x appartient à [0, π], mais Arcsin x appartient a priori à − , 2 2 et non pas à [0, π]. En tout cas, l’implication suivante est correcte : cos Arccos x = cos Arcsin x et Arcsin x ∈ [0, π] Arccos x = Arcsin x. =⇒ — Mais l’implication : Arccos x = Arcsin x =⇒ cos Arccos x = cos Arcsin x et Arcsin x ∈ [0, π] l’est-elle ? C’est ce qu’il nous reste à comprendre. Et tout simplement, si Arccos x = Arcsin x, alors oui : Arcsin x = Arccos x ∈ [0, π] puisque tous les arccosinus sont dans [0, π]. Finissons-en avec la trigonométrie sans complexes — et sans peur — au moyen d’un petit tableau récapitulatif. Fonction Ensemble de définition Ensemble de dérivabilité Dérivée sin x # # cos x cos x # # − sin x + π π, + π& − , 2 2 + π π, − , + π& 2 2 1 + tan2 x = Arcsin x [−1, 1] ] − 1, 1[ + Arccos x [−1, 1] ] − 1, 1[ Arctan x # # tan x = sin x cos x 8 1 cos2 x 1 1 − x2 1 −+ 1 − x2 1 1 + x2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 3 EXPONENTIELLE COMPLEXE ET FORMES TRIGONOMÉTRIQUES 3.1 NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1 ET EXPONENTIELLE IMAGINAIRE Tout point du cercle trigonométrique a des coordonnées de la forme (cos θ , sin θ ) pour un certain θ ∈ # unique à 2π près. Le théorème qui suit n’est que la traduction complexe de ce résultat. ) * Définition-théorème (Ensemble % et exponentielle imaginaire) On pose % = z ∈ ! | |z| = 1 , géométriquement le cercle trigonométrique, et pour tout θ ∈ # : eiθ = cos θ + i sin θ . i C • Paramétrisation de % par l’exponentielle imaginaire : % = eiθ | θ ∈ # $ et pour tous θ , θ $ ∈ # : eiθ = eiθ ⇒⇒ θ ⇐ θ $ [2π]. D θ eiθ ! 1 % • Propriétés algébriques de l’exponentielle imaginaire : Pour tous x, y ∈ # et n ∈  » : 1 ei (x+ y) = eix ei y , eix = e−ix = ix , e eix + e−ix eix − e−ix cos x = et sin x = (formules d’Euler), 2 2i $ % $ % cos(nx) = Re (cos x + i sin x)n et sin(nx) = Im (cos x + i sin x)n (formules de Moivre). z−z z+z et Im(z) = pour tout z ∈ !. Pour les formules d’Euler, n’oublions pas que Re(z) = 2 2i $ ix %n inx n Pour les formules de Moivre : cos(nx) + i sin(nx) = e = e = (cos x + i sin x) . Démonstration On l’a vu en début de chapitre, la relation ei(x+ y) = eix ei y est équivalente aux formules d’addition du cosinus et du sinus par identification des parties réelle et imaginaire car elle s’écrit aussi : cos(x + y) + i sin(x + y) = (cos x + i sin x) (cos y + i sin y). Exemple eiθ = eiθ $ Pour tout θ ∈ # : et : eiθ = 1 iθ e =i ! ! ! ! ⇒⇒ iθ e iπ =e2 ⇒⇒ ⇒⇒ θ ⇐ 0 [2π] π θ ⇐ [2π] 2 ⇒⇒ ⇒⇒ iπ e− 2 = −i θ ∈ 2π& π θ ∈ + 2π&. 2 3.2 FORMES TRIGONOMÉTRIQUES Pour tout z ∈ !∈ : ( ( ( z ( |z| = 1, ( (= |z| |z| z ∈ %, donc z = |z| eiθ pour un certain θ ∈ # unique à 2π près. |z| donc Définition-théorème (Arguments et formes trigonométriques) Tout nombre complexe NON NUL peut être écrit sous forme trigonométrique z = |z| eiθ pour un certain θ ∈ # unique à 2π près. z |z | Tout réel θ de ce genre est appelé UN argument de z, mais il en existe un et un seul dans ] − π, π] θ qu’on appelle L’argument (principal) de z et qu’on note arg(z). ! Tout comme on sait identifier les formes algébriques, on sait identifier les formes trigonométriques, MAIS avec une petite subtilité modulo 2π. Pour tous r, r $ > 0 et θ , θ $ ∈ # : r eiθ = r $ eiθ $ r = r$ ⇒⇒ 9 et θ ⇐ θ $ [2π]. 3+i 2 ei0 = e2iπ = 1 ! eiθ = ei0 + ! eiπ = e−iπ = −1 % ⇒⇒ iπ e6 = θ = θ $. ⇒⇒ + e 4 = 1+i 2 ! ! Séparément, cosinus et sinus sont pénibles et laids, mais leur association qu’est l’exponentielle imaginaire est un petit bijou. Attention ! e 3 = 1+i2 3 iπ 3iπ + e 4 = −1+i 2 + iπ iπ e2 =i Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Pour tout θ ∈ # : Attention ! donc pas d’arguments. 0 = 0 eiθ , mais on considère tout de même que 0 n’a pas de forme trigonométrique, Exemple Les réels et les imaginaires purs ont des formes trigonométriques plus piégeuses qu’il n’y paraît, attention ! E iπ  si y > 0 x ei0 si x > 0 ye2 ∈ ∈ Pour tout x ∈ # : x = et pour tout y ∈ # : i y = iπ iπ (−x) e si x < 0 (− y) e− 2 si y < 0. Grâce aux paragraphes qui précèdent, nous savons exprimer un argument de tout nombre complexe non nul sous la forme d’une arctangente, d’un arccosinus ou d’un arcsinus. Exemple On cherche un argument de −1 + 2i. + , π donc −1+2i possède un argument θ dans ,π . 2 2 = π−Arctan2 est un argument de −1+2i. • Arctangente : −1 < 0, donc nous l’avons vu, π+Arctan & ' −1 1 1 • Arccosinus : θ ∈ [0, π] et cos θ = − + , donc θ = Arccos − + . 5 5 , + π π 2 2 • Arcsinus : π−θ ∈ − , et sin(π − θ ) = sin θ = + , donc θ = π − Arcsin + . 2 2 5 5 Démonstration Pour commencer : Exemple −1 < 0 et 2 > 0, ipπ Soit n ∈ « ∈ . À quelle condition sur p ∈ & le nombre e n est-il réel ? 4 ipπ 5 4 ipπ 5 4 ipπ 5 ipπ Démonstration e n ∈# ⇒⇒ arg e n ⇐ 0 [2π] ou arg e n ⇐ π [2π] ⇒⇒ arg e n ⇐ 0 [π] ÷π pπ ⇐ 0 [π] ⇒⇒ p ⇐ 0 [n] ⇒⇒ p est un multiple de n. ⇒⇒ ×n n Théorème (Propriétés algébriques des arguments) Pour tous z, z $ ∈ !∈ : $ % $ % arg zz $ ⇐ arg(z) + arg(z $ ) [2π], arg z ⇐ − arg(z) [2π] et arg & ‘ 1 ⇐ − arg(z) [2π]. z $ % $ $ zz $ = |z| ei arg(z) |z $ | ei arg(z ) = |zz $ | ei (arg(z)+arg(z )) , donc arg zz $ ⇐ arg(z) + arg(z $ ) [2π]. $ % De même : z = |z| ei arg(z) = |z| e−i arg(z) = |z| e−i arg(z) , donc arg z ⇐ − arg(z) [2π]. & ‘ ( ( 1 1 1 ( 1 ( −i arg(z) = = ⇐ − arg(z) [2π]. Enfin : e , donc arg ( ( z |z| ei arg(z) z z Démonstration Exemple + − iπ iπ iπ iπ 1−i e− 4 + 3 2e 4 π 1−i e 12 = admet pour argument car = = + + . + + − iπ 12 1−i 3 1−i 3 2 2 3 2 e $ + % + + + + (1 − i) 1 + i 3 3+1 3−1 π 3+1 π 3−1 1−i = +i , donc cos = + et sin = + . + = 4 4 4 12 12 1−i 3 2 2 2 2 Le nombre complexe Or par ailleurs : C D z−b ) Soient a, b ∈ ! et z ∈ ! \ a, b . & ‘ $ z−a ( ( z−b # ” # ”% (z − b( MB En notant A l’image de a, B celle de b et M celle de z : et arg ⇐ M A, M B [2π]. ( (= z−a MA z−a Théorème (Interprétation géométrique de $ # ”% # ” Démonstration En notant #” ı le vecteur d’affixe i, b − z a pour image M B, donc arg(b − z) ⇐ #” ı , M B [2π]. ‘ & ‘ & $ #” # ”% $ #” # ”% $ # ” # ”% b−z z−b ⇐ arg ⇐ arg(b − z) − arg(a − z) ⇐ ı , M B − ı , M A ⇐ M A, M B [2π]. Ainsi : arg z−a a−z 3.3 EXPONENTIELLE COMPLEXE Définition (Exponentielle complexe) On pose pour tout z ∈ ! : Ce nombre complexe est défini sous forme TRIGONOMÉTRIQUE : 10 ez = eRe(z) ei Im(z) . |ez | = eRe(z) et $ % arg ez ⇐ Im(z) [2π]. Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple e1+iπ = e × eiπ = − e et & ‘ iπ iπ 1 i e2 i e2 e2+ 4 = e2 e 4 = e2 + + + =+ ++ . 2 2 2 2 Théorème (Propriétés de l’exponentielle complexe) (i) Périodicité : L’exponentielle complexe est 2iπ-périodique, autrement dit pour tout z ∈ ! : On dispose en fait d’un résultat plus précis. Pour tous z, z $ ∈ ! : (ii) Transformation des sommes en produits : Pour tous z, z $ ∈ ! : ez = ez $ $ ez+2iπ = ez . z ⇐ z $ [2iπ]. ⇒⇒ $ ez+z = ez ez . Attention au i ! L’exponentielle complexe transforme donc les formes algébriques en formes trigonométriques. Démonstration (i) Simple identification de formes trigonométriques : ez = ez $ ⇒⇒ ⇒⇒ (ii) $ $ $ $ eRe(z) = eRe(z ) Re(z) = Re(z $ ) et Im(z) ⇐ Im(z $ ) [2π] $ et Im(z) ⇐ Im(z $ ) [2π] $ $ ⇒⇒ z ⇐ z $ [2iπ]. $ $ ez+z = eRe(z+z ) ei Im(z+z ) = eRe(z)+Re(z ) ei Im(z)+i Im(z ) = eRe(z) eRe(z ) ei Im(z) ei Im(z ) = ez ez . L’exemple qui suit suggère qu’il est plus compliqué de définir un logarithme complexe que l’exponentielle complexe car la 2iπ-périodicité de z ∞−→ ez accorde une infinité de logarithmes à tout nombre complexe non nul. Exemple On souhaite résoudre l’équation ez = 2 + i d’inconnue z ∈ !. Démonstration Il s’agit essentiellement d’identifier des formes trigonométriques. Pour tout z = x + i y ∈ ! sous forme algébrique : + ez = 2 + i ⇒⇒ e x = |2 + i| = 5 et y est un argument de 2 + i 1 ln 5 1 ln 5 et y ⇐ Arctan [2π] ⇒⇒ ∃ k ∈ &, z = + i Arctan + 2ikπ. ⇒⇒ x= 2 2 2 2 Théorème (Dérivation des fonctions de la forme eω ) Soient I un intervalle et ω ∈ #(I , !). La fonction x ∞−→ eω(x) $ %$ est dérivable sur I et eω = ω $ eω . En particulier, pour tout a ∈ !, la fonction x ∞−→ eax est dérivable sur # de dérivée x ∞−→ a eax . Démonstration Posons a = Re(ω) et b = Im(ω). Par hypothèse sur ω, les fonctions RÉELLES a et b sont dérivables sur I . Or eω = ea+ib = ea eib = ea (cos b + i sin b), donc Re(eω ) = ea cos b et Im(eω ) = ea sin b. Il en découle que Re(eω ) et Im(eω ) sont dérivables sur I , donc que eω l’est à son tour. En outre : 4 5 $ %$ $ %$ $ % Re(eω ) = ea cos b = a$ ea cos b−ea b$ sin b = ea (a$ cos b−b$ sin b) = ea Re (a$ +ib$ )(cos b+i sin b) = Re ω $ eω . $ %$ $ % $ ω %$ On montre de même que Im(eω ) = Im ω $ eω . Comme voulu : e = ω $ eω . 4 SOMMES TRIGONOMÉTRIQUES 4.1 TRANSFORMATION DES EXPRESSIONS a cos x + b sin x Pour tout couple (a, b) ∈ #2 distinct de (0, 0), la fonction x ∞−→ a cos x + b sin x peut être écrite sous la forme d’un unique cosinus x ∞−→ Acos(x + ω) ou d’un unique sinus x ∞−→ Asin(x + ϕ) pour certains ω, ϕ ∈ #. La transformation repose essentiellement sur les identités : Re(zz $ ) = Re(z) Re(z $ ) − Im(z) Im(z $ ) et Im(zz $ ) = Re(z) Im(z $ ) + Im(z) Re(z $ ). . 5 + 4+ 4 4 π 55 + $ % iπ π i x− 4 Pour tout x ∈ # : cos x+sin x = Re (1−i)(cos x+i sin x) = Re 2e− 4 eix = 2Re e = 2 cos x − 4 . 4$+ 5 4 + iπ 5 4 4 π 55 + + % + + + π i x+ 6 6+i 2 (cos x+i sin x) = Im 2 2e 6 eix = 2 2Im e et de même : 2 cos x+ 6 sin x = Im = 2 2 sin x + . 6 + + Graphiquement, la deuxième égalité signifie que la somme des signaux sinusoïdaux x ∞−→ 2 cos x et x ∞−→ 6 sin x est + π encore un signal sinusoïdal, de nouvelle amplitude 2 2 et déphasé de . 6 Exemple 11 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI y= + + 2 cos x y= + + 2 . + π y = 2 2 sin x + 6 6 sin x + 2 2 6 − Exemple Pour tout x ∈ # : π 6 5 4+ 4 4 5 + $ % 3 5 3 i x+Arctan 2 2 cos x − 3 sin x = Re (2 + 3i) (cos x + i sin x) = Re 13 eiArctan 2 eix = 13 Re e ‘ & + 3 . = 13 cos x + Arctan 2 4.2 LINÉARISATION Linéariser une expression polynomiale en sin x et cos x — par exemple 5 sin4 x cos7 x + 2 sin x cos4 x — c’est l’exprimer comme une COMBINAISON LINÉAIRE de cos x, cos(2x), cos(3x). . . et sin x, sin(2x), sin(3x). . . en supprimant toute puissance Euler, binôme, Euler. et tout produit. La recette est simple : Exemple Pour tout x ∈ # : 5 sin x #5  » ix 4 5 e − e−ix Binôme 1 = e5ix − 5 e3ix + 10 eix − 10 e−ix + 5 e−3ix − e−5ix = 2i 32i % $ % $ %5 Euler sin(5x) − 5 sin(3x) + 10 sin x 1 4$ 5ix = e − e−5ix − 5 e3ix − e−3ix + 10 eix − e−ix = . 32i 16 Euler C’est notamment en les linéarisant qu’on primitive les fonctions x ∞−→ cosm x sinn x, m et n décrivant « . Exemple La fonction x ∞−→ tout x ∈ # : 1 32 & − sin(6x) sin(4x) sin(2x) −2 + + 2x 6 4 2 ‘ est une primitive de x ∞−→ cos4 x sin2 x car pour  » ix #4  » ix #2 5$ % e + e−ix e − e−ix 1 4 4ix Binôme cos x sin x = = − e + 4 e2ix + 6 + 4 e−2ix + e−4ix e2ix − 2 + e−2ix 2 2i 64 4 5 5 % $ % $ % 1 1 4$ 6ix =− e6ix + 2 e4ix − e2ix − 4 − e−2ix + 2 e−4ix + e−6ix = − e + e−6ix + 2 e4ix + e−4ix − e2ix + e−2ix − 4 64 64 Euler − cos(6x) − 2 cos(4x) + cos(2x) + 2 . = 32 2 4 Euler 4.3 DÉLINÉARISATION Il est parfois utile de dé-linéariser les expressions trigonométriques. Là aussi, la recette est simple : Exemple Pour tout x ∈ # : Démonstration Moivre, binôme. $ % sin(6x) = 2 3 − 16 cos2 x + 16 cos4 x cos x sin x. 4 5 Moivre sin(6x) = Im (cos x + i sin x)6 4 5 Im cos6 x + 6i cos5 x sin x − 15 cos4 x sin2 x − 20i cos3 x sin3 x + 15 cos2 x sin4 x + 6i cos x sin5 x − sin6 x $ % = 6 cos5 x sin x − 20 cos3 x sin3 x + 6 cos x sin5 x = 2 3 cos4 x − 10 cos2 x sin2 x + 3 sin4 x cos x sin x Binôme = La relation cos2 + sin2 = 1 nous permet finalement de valoriser la fonction cosinus par exemple. 4 $ % $ %2 5 sin(6x) = 2 3 cos4 x − 10 cos2 x 1 − cos2 x + 3 1 − cos2 x cos x sin x $ % 2 4 = 2 3 − 16 cos x + 16 cos x cos x sin x après développement. 4.4 TECHNIQUE DE L’ANGLE MOITIÉ La technique de l’angle moitié, qui consiste à écrire les expressions eix + ei y et eix − ei y sous forme trigonométrique. On s’en sert souvent pour factoriser des expressions en cosinus et sinus. L’idée est simple. Pour tous x, y ∈ # : & ‘ i(x+ y) i(x− y) i(x− y) i(x+ y) x−y e 2 + e− 2 = 2 e 2 cos . eix + ei y = e 2 2 Mise en facteur de l’ ANGLE MOITIÉ 12 x+y 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI En réalité, le résultat obtenu n’est pas forcément la forme trigonométrique de eix + ei y car le cosinus obtenu peut être négatif, mais on n’en est pas loin. La technique s’adapte bien sûr au cas des expressions eix − ei y . ix 4 ix ix 5 ix x Très souvent y est nul et le calcul prend la forme suivante : eix + 1 = e 2 e 2 + e− 2 = 2 e 2 cos . 2 Le programme vous épargne l’apprentissage par cœur de quatre nouvelles formules, mais exige que vous sachiez les retrouver RAPIDEMENT. Théorème (Quatre nouvelles formules de trigo) Pour tous x, y ∈ # : x+y x−y cos 2 2 x+y x−y sin x + sin y = 2 sin cos 2 2 x−y x+y sin 2 2 x−y x+y sin sin x − sin y = 2 cos 2 2 cos x + cos y = 2 cos ‘ & $ % Angle i(x+ y) x+y x−y x−y = 2 sin cos . sin x + sin y = Im eix + ei y = Im 2 e 2 cos 2 2 2 moitié Démonstration Exemple cos x − cos y = −2 sin Pour tous n ∈  » et x ∈ # : $ %   sin (n + 1)x cos(nx) cos(2k x) = sin x  k=0 n+1 n ! si x ∈ / π& si x ∈ π&. Démonstration Vous devez à tout prix savoir refaire cette démonstration. n n ! ! Si x ∈ π& : cos(2k x) = 1 = n + 1. Si au contraire x ∈ / π&, alors e2ix ‘= 1, donc :  4 5 k=0 k=0 F G  » 2i(n+1)x # i(n+1)x i(n+1)x −i(n+1)x n n n ! ! ! e e − e $ % e − 1 Angle e2ix ‘=1  $ % cos(2k x) = = Re Re e2ikx = Re e2ikx = Re  2ix ix eix − e−ix e − 1 moitié e k=0 k=0 k=0 $ %G $ % $ % F $ % sin (n + 1)x sin (n + 1)x sin (n + 1)x Euler inx inx = Re e Re e = cos(nx). = sin x sin x sin x 5 TRANSFORMATIONS USUELLES DU PLAN COMPLEXE Les figures ci-dessous vous rappellent : — que l’addition de deux nombres complexes s’interprète géométriquement en termes de translation, — deux ou trois choses concernant les symétries les plus simples, — que le produit de deux nombres complexes s’interprète géométriquement en termes d’homothétie et de rotation. i# iπ Symétrique de z 2e 4 z π par rapport à i # z −z 4 z+u u z iπ # e4z u 2z −z z z Symétrique de z Symétrique de z ! ! ! ! ! ! ! par rapport à 0 ! par rapport à # Voyons maintenant ce qu’il en est de transformations plus compliquées. Dans chacun des cas ci-dessous, un point Ω d’affixe ω est fixé et on effectue une transformation sur un point M d’affixe z. L’image de M par cette transformation est un point M $ d’affixe z $ . M$ ! θ M ! ! M$ ” # M Ω ! Ω Symétrie centrale par rapport à Ω : # ” # ” ΩM $ = − ΩM , donc z $ − ω = − (z − ω) i.e. z $ = 2ω − z. Ω ! M ! M$ ! ”$ # M Ω Homothétie de centre Ω et de rapport λ (ici λ = 2) : # ” # ” ΩM $ = λ ΩM , donc z $ − ω = λ (z − ω) i.e. z $ = ω + λ (z − ω). 13 ! ”$ # M Ω ” # M Ω ”$ # M Ω ! Ω M # ” ΩM Rotation de centre Ω et d’angle de mesure θ : $# ” # ” % ΩM $ = ΩM et ΩM , ΩM $ ⇐ θ [2π] donc z $ − ω = eiθ (z − ω) i.e. z $ = ω + eiθ (z − ω). Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Finalement, les transformations auxquelles nous sommes habitués sont toutes de la forme z ∞−→ az + b ou z ∞−→ az + b pour certains a ∈ !∈ et b ∈ !. Réciproquement, de quelle manière les transformations z ∞−→ az + b s’interprètent-elles géométriquement ? Fixons a ∈ !∈ et b ∈ ! et notons f la transformation z ∞−→ az + b et α un argument de a. — Si a = 1, f est simplement la translation de vecteur b. z$ — Si a ‘= 1, remarquons d’abord que f possède un et un seul point fixe car l’équation f (ω) = ω d’inconnue b pour seule et unique solution. Nous allons maintenant exprimer f sous une forme ω ∈ ! admet ω = 1−a plus sympathique grâce à ce point fixe. Pour tout z ∈ !, en posant z $ = f (z) : z $ − ω = (az + b) − (aω + b) = a (z − ω) ! Ici |a| = 2. = |a| × eiα (z − ω) 2 3  Rotation de centre ω et d’angle de mesure α 2 ω ! eiα × |a| (z − ω). 2 3  = 3  Homothétie de centre ω et de rapport |a| ! z Homothétie de centre ω et de rapport |a| 2 3  Rotation de centre ω et d’angle de mesure α Conclusion : f est la composée d’une homothétie et d’une rotation de mêmes centres et l’ordre dans lequel on compose ces deux transformations ne compte pas. On dit que f est la similitude directe de centre ω, de rapport |a| et d’angle de mesure α. Exemple 6 1 + 2i π , de rapport 2 et d’angle de mesure . 5 2 iπ Démonstration Le coefficient 2i = 2 e 2 devant z est différent de 1, donc f n’est pas une translation. Son π rapport est alors 2 et son angle a pour mesure . 2 1 + 2i 1 = . Enfin, le centre de f est son unique point fixe ω : f (ω) = ω ⇒⇒ ω = 1 − 2i 5 f La fonction z ∞−→ 2iz + 1 est la similitude directe de centre RACINES n ÈMES Pour tout n ∈ « ∈ , rappelons que la fonction racine nème est la réciproque de la fonction puissance nème sur #+ . Pour tous x, y ∈ #+ : y= + n x ⇒⇒ x = y n. Définition (Racines nèmes , ensemble %n ) Pour tous z ∈ ! et n ∈ « ∈ , on appelle racine nème de z tout nombre complexe ζ pour lequel z = ζn . Les racines nèmes de 1 sont appelées les racines nèmes de l’unité et leur ensemble est noté %n . Attention ! + n + n x Notation autorisée si x ∈ #+ . z LA PLUS INTERDITE DES NOTATIONS INTERDITES SINON ! Pourquoi cet interdit ? Parce que nous allons voir dans un instant que tout nombre complexe non nul possède n racines + nèmes distinctes qui se valent les unes les autres. Laquelle noterions-nous n z ? Théorème (Description des racines nèmes de l’unité) Pour tout n ∈ « ∈ : ) 2ikπ %n = e n | * k ∈ L0, n − 1M ⊂ %. Pour tout n ∈ « ∈ , %n est donc l’ensemble des sommets du polygone régulier — i.e. à côtés de même longueur — à n côtés, 2iπ de centre 0 et passant par le point d’affixe 1. Pour n = 3, on a posé j = e 3 . 14 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 2iπ i j ! −1 1 ! ! 1 1 ! −i Carré %4 Triangle équilatéral %3 −1 ! ! 1 ! e− 5 ! ! ! ! 4iπ j2 = j iπ e3 j ! e 5 ! e 5 ! 4iπ ! ! j2 = j 2iπ e− 5 Pentagone régulier %5 ! ! iπ e− 3 Hexagone régulier %6 Démonstration Soit ω ∈ !. Posons ρ = |ω| et notons ω l’unique argument de ω dans l’intervalle [0, 2π[. Par identification de formes trigonométriques : ωn = 1 ρ n einω = 1 ei0 ⇒⇒ ρ ∈ #+ ⇒⇒ ρ = 1 et ⇒⇒ ρ = 1 et ∃ k ∈ L0, n − 1M, ω = ω ∈ [0,2π[ ∃ k ∈ &, nω = 2kπ ⇒⇒ 2kπ n ρ n = 1 et nω ⇐ 0 [2π] ⇒⇒ ρ = 1 et ⇒⇒ ∃ k ∈ L0, n − 1M, 2kπ n 2ikπ ω=e n . ∃ k ∈ &, ω = 2π 4π 2(n − 1)π , , . . ., sont distincts n n n ix et éléments de [0, 2π[, donc leurs images par la fonction x ∞−→ e sont distinctes. Ceci nous fait bien un total de n racines nèmes de l’unité, car les nombres 0, Définition (Nombre j) j3 = 1, 2iπ 1 Il est d’usage de poser j = e 3 = − + i j = j2 , 1 + j + j2 = 0 + 3 . Alors : 2 2 $ % et pour tout z ∈ ! : z 2 + z + 1 = (z − j) z − j . La relation j3 = 1 montre que toute puissance de j vaut 1, j ou j2 = j après réduction modulo 3 de l’exposant. Par exemple : j32 = j2 car 32 ⇐ 2 [3], et de même j13 = j car 13 ⇐ 1 [3]. Démonstration Comme j ‘= 1 : 1 + j + j2 = j3 − 1 = 0. j−1 Théorème (Description générale des racines nèmes ) Soit n ∈ « ∈ . La seule racine nème de 0 est 0. Sinon, tout nombre complexe z = reiθ ∈ !∈ avec r > 0 et θ ∈ # possède exactement n racines nèmes , à savoir les nombres : + iθ 2ikπ n ren+ n , k décrivant L0, n − 1M. + iθ n Démonstration Soit z = reiθ ∈ !∈ avec r > 0 et θ ∈ #. Posons ζ = r e n . Il est immédiat que ζn = z et ζ est non nul. Nous disposons ainsi d’UN EXEMPLE de racine nème de z, et grâce à lui, nous allons les trouver toutes. Pour tout ω ∈ ! : ζ ‘= 0 ω ∈ %n ωn = z ⇒⇒ ωn = ζn ⇒⇒ ζ + iθ 2ikπ 2ikπ ω n ⇒⇒ ∃ k ∈ L0, n − 1M, ⇒⇒ ∃ k ∈ L0, n − 1M, ω = r e n + n . =e n ζ Exemple + + + 3iπ iπ 7iπ 6 6 6 et Les racines cubiques de 1 + i sont : 2 e 12 , 2e 4 2 e− 12 . ‘ & + iπ + i 1 = 2e 4 , donc les racines cubiques de 1+i sont les trois nombres : Démonstration 1+i = 2 + + + 2 2 C 9 D + iπ 2ikπ iπ 2ikπ 3 + 6 2 e 12 + 3 = 2 e 12 + 3 , k décrivant 0, 1, 2 . 15 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 7 SUITES USUELLES On s’intéresse dans cette partie à quelques familles de suites usuelles dont certaines vous sont déjà connues. Pourquoi dans ce chapitre ? Parce que les nombres complexes seront au cœur de l’étude des suites dites récurrentes linéaires d’ordre 2. 7.1 SUITES ARITHMÉTIQUES, GÉOMÉTRIQUES ET ARITHMÉTICO -GÉOMÉTRIQUES Théorème (Suites arithmétiques/géométriques) Soient (un )n∈ » une suite complexe et q, r ∈ !. • Suites arithmétiques : On dit que (un )n∈ » est arithmétique de raison r si pour tout n ∈  » : un+1 = un + r. • Suites géométriques : On dit que (un )n∈ » est géométrique de raison q si pour tout n ∈  » : un+1 = qun . Dans ce cas, pour tout n ∈  » : un = u0 + nr. Dans ce cas, pour tout n ∈  » : un = q u0 . n +r/×q u0 +r/×q u1 +r/×q u2 +nr/×q +r/×q … un n Théorème (Suites arithmético-géométriques) Soient (un )n∈ » une suite complexe et a, b ∈ !. On dit que (un )n∈ » est arithmético-géométrique (de raison a) si pour tout n ∈  » : un+1 = aun + b. Deux situations peuvent se présenter : — soit a = 1, auquel cas (un )n∈ » est arithmétique, — soit a ‘= 1, auquel cas l’équation ax + $ % b = x d’inconnue x ∈ ! possède une et une seule solution ,. La suite (un )n∈ » est alors de la forme , + λa n n∈ » pour un certain λ ∈ !. Supposons a ‘= 1. Soit (un )n∈ » une suite complexe pour laquelle un+1 = aun + b pour tout b n ∈ « . L’équation a x + b = x d’inconnue x ∈ ! admet , = pour seule solution. Vous noterez bien que ce 1−a n’est pas l’expression explicite de , qui compte dans ce qui suit, mais l’égalité a, + b = ,. Démonstration La suite (un − ,)n∈ » est géométrique car pour tout n ∈  » : un+1 − , = (au $ n + b) − % (a, + b) = a (un − ,). Ainsi, pour tout n ∈  » : un − , = a n (u0 − ,), donc (un )n∈ » est de la forme , + λa n n∈ » pour un certain λ ∈ !. Exemple On cherche une expression de la suite (un )n∈ » définie par u0 = 1 et un+1 = 2un + 1 pour tout n ∈ « . $ % Démonstration L’équation 2x + 1 = x pour solution −1, donc (un )n∈ » est de la forme λ2n − 1 n∈ » pour un certain λ ∈ #. La condition initiale u0 = 1 montre que λ20 − 1 = 1, i.e. que λ = 2, donc pour tout n ∈  » : un = 2n+1 − 1. 7.2 SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D’ORDRE 2 $ % Exemple Soient a ∈ !, b ∈ !∈ et q ∈ !. On note (un )n∈ » la suite géométrique q n n∈ » . Cette suite satisfait la relation un+2 = aun+1 + bun pour tout n ∈  » si et seulement si q2 = aq + b, i.e. si et seulement si q est racine du polynôme X 2 − aX − b. Définition (Suites récurrentes linéaires d’ordre 2) Soient a ∈ !, b ∈ !∈ et (un )n∈ » une suite complexe. On dit que (un )n∈ » est récurrente linéaire d’ordre 2 (de polynôme caractéristique X 2 − aX − b) si pour tout n ∈  » : un+2 = aun+1 + bun . Nous avons découvert les récurrences doubles sur l’exemple de ce genre de suites, mais à l’époque, vous pouviez seulement montrer par récurrence une relation qui vous était donnée, vous ne saviez pas du tout d’où cette relation était tirée. Maintenant, vous saurez. On suppose b ‘= 0 dans la définition car pour b = 0, la relation un+2 = aun+1 nous ramène au cas des suites géométriques à partir du rang 1. 16 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Théorème (Expression explicite d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2) Soient a ∈ ! et b ∈ !∈ . On note ∆ le discriminant du polynôme X 2 − aX − b. • Cas où ∆ ‘= 0 : Le polynôme X 2 − aX − b possède deux racines distinctes$r1 et r2 . Les suites récurrentes linéaires % d’ordre 2 de polynôme caractéristique X 2 − aX − b sont toutes les suites λ1 r1n + λ2 r2n n∈ » , λ1 et λ2 décrivant !. • Cas où ∆ = 0 : Le polynôme X 2 − aX − b possède une seule racine r. Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 $ % de polynôme caractéristique X 2 − aX − b sont toutes les suites (λn + µ) r n n∈ » , λ et µ décrivant !. Le théorème distingue deux cas selon que ∆ est nul ou non, mais ce qui compte vraiment quand on cherche une expression explicite de suite récurrente linéaire d’ordre 2, ce sont les racines du polynôme caractéristique, pas le discriminant. Nous prouverons le résultat après un exemple. Exemple On cherche une expression de la suite (un )n∈ » définie par u0 = 0, u1 = 1 et un+2 = un+1 − un pour tout n ∈ « . La suite (un+ )n∈ » est récurrente linéaire d’ordre 2 de polynôme caractéristique X 2 − X + 1 et ce 4 inπ inπ 5 iπ 1 3 polynôme a pour racines ±i = e± 3 après calcul. La suite (un )n∈ » est donc de la forme λ1 e 3 +λ2 e− 3 n∈ » 2 2 pour certains λ1 , λ2 ∈ ! et nous pouvons calculer λ1 et λ2 grâce aux conditions initiales u0 = 0 et u1 = 1. En iπ iπ 1 1 effet : λ1 + λ2 = 0 et λ1 e 3 + λ2 e− 3 = 1, donc après calcul, λ1 = + et λ2 = − + . Finalement, i 3 i 3 inπ inπ 2 nπ e 3 − e− 3 = + sin . pour tout n ∈  » : un = + 3 i 3 3 Démonstration Démonstration (du théorème) Notons 5 l’ensemble des suites récurrentes linéaires d’ordre 2 de polynôme caractéristique X 2 − aX − b. Deux remarques préliminaires : — Pour toute suite (un )n∈ » de 5 , si u0 = u1 = 0, alors un = 0 pour tout n ∈ « . — Pour toutes suites (un )n∈ » et (vn )n∈ » de 5 et tous λ, µ ∈ !, la suite (λun + µvn )n∈ » appartient encore à 5 . Tâchons maintenant de déterminer 5 explicitement. $ % $ % • Cas où ∆ ‘= 0 : D’après le premier exemple du paragraphe, les suites r1n n∈ » et r2n n∈ » appartiennent à $ % 5 , donc toute suite de la forme λ1 r1n + λ2 r2n n∈ » avec λ1 , λ2 ∈ ! appartient à 5 . Et réciproquement ? Soit (un )n∈ » ∈ 5 . Donnons-nous deux nombres complexes λ1 et λ2 pour $ % le moment quelconques, mais que nous allons bientôt choisir soigneusement. La suite un −λ1 r1n −λ2 r2n n∈ » appartient toujours à 5 et ses deux premiers termes valent u0 − λ1 − λ2 et u1 − λ1 r1 − λ2 r2 . Peut-on choisir λ1 et λ2 pour qu’ils vaillent tous deux 0 ? Eh bien oui. Après résolution du système linéaire sous-jacent, il suffit de r2 u0 − u1 u1 − r1 u0 poser λ1 = et λ2 = , ce qui est possible car r1 ‘= r2 . Pour ces valeurs de λ1 et λ2 , la r2 − r1 r2 − r1 $ % suite un − λ1 r1n − λ2 r2n n∈ » appartient à 5 et ses deux premiers termes sont nuls, donc pour tout n ∈  » : un = λ1 r1n + λ2 r2n . • Cas où ∆ = 0 : Dans ce cas très particulier, le polynôme X 2 − aX − b n’a qu’une seule racine r, non nulle a car b ‘= 0, et en l’occurrence r = , donc 2r − a = 0. 2 $ % $ % Comme nous l’avons vu, la suite r n n∈ » appartient à 5 , mais c’est aussi le cas de la suite nr n n∈ » car pour $ % tout n ∈  » : (n + 2) r n+2 − a (n + 1) r n+1 − bnr n = nr n r 2 − ar − b + r n+1 (2r − a) = 0 + 0 = 0. Toute $ % suite de la forme (λn + µ) r n n∈ » avec λ, µ ∈ ! appartient donc à 5 . Et réciproquement ? Soit deux nombres complexes λ et µ pour le moment $ (un )n∈ » ∈ 5 . Donnons-nous % quelconques. La suite un − (λn + µ) r n n∈ » appartient toujours à 5 et ses deux premiers termes valent u0 − µ et u1 − λr − µr. Peut-on choisir λ et µ pour qu’ils vaillent tous deux 0 ? Eh bien oui, il suffit de poser $ % u1 − ru0 et µ = u0 . Pour ces valeurs de λ et µ, la suite un − (λn + µ) r n n∈ » appartient à 5 et ses deux λ= r premiers termes sont nuls, donc pour tout n ∈  » : un = (λn + µ) r n . Le théorème qui précède sert assez peu souvent en réalité, car s’il a le mérite de la généralité, on n’a pas Attention ! si souvent que cela affaire à des suites complexes. Dans le théorème qui suit, plus utile en pratique, on ne cherche que des suites réelles, mais on s’appuie sur le cas complexe pour traiter le cas réel. 17 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Théorème (Expression explicite d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2, cas réel) Soient a ∈ # et b ∈ #∈ . On note ∆ le discriminant du polynôme X 2 − aX − b. • Cas où ∆ > 0 : Le polynôme X 2 − aX − b possède deux racines RÉELLES distinctes r1 et r2 . Les % $ suites récurrentes linéaires d’ordre 2 RÉELLES de polynôme caractéristique X 2 − aX − b sont toutes les suites λ1 r1n + λ2 r2n n∈ » , λ1 et λ2 décrivant #. • Cas où ∆ = 0 : Le polynôme X 2 − aX − b possède une seule racine RÉELLE r. Les suites récurrentes $ % linéaires d’ordre 2 RÉELLES de polynôme caractéristique X 2 − aX − b sont toutes les suites (λn + µ) r n n∈ » , λ et µ décrivant #. • Cas où ∆ < 0 : Le polynôme X 2 − aX − b possède deux racines NON RÉELLES CONJUGUÉES distinctes ρ e±iθ . Les récurrentes linéaires d’ordre 2 RÉELLES de polynôme caractéristique X 2 − aX − b sont toutes les suites 4 suites $ %5 n ρ λ cos(nθ ) + µ sin(nθ ) , λ et µ décrivant #. n∈" Les paramètres λ1 , λ2 , λ, µ décrivent cette fois #, et non plus !. Démonstration Nous avons déjà déterminé l’ensemble 5 des suites récurrentes linéaires d’ordre 2 COMPLEXES de polynôme caractéristique X 2 − aX − b. Il nous suffit maintenant de savoir lesquelles sont réelles et lesquelles ne le sont pas. $ % • Cas où ∆ > 0 : Soit (un )n∈∈ » ∈ 5 . Comme ∆ ‘= 0, (un )n∈ » est de la forme λ1 r1n + λ2 r2n n∈ » pour certains λ1 , λ2 COMPLEXES. Si (un )n∈ » est à valeurs réelles, alors en particulier u0 = λ1 + λ2 et u1 = λ1 r1 + λ2 r2 sont r2 u0 − u1 u1 − r1 u0 des réels, mais r1 et r2 en sont aussi, donc λ1 = et λ2 = sont réels. Réciproquement, r2 − r1 r2 − r1 (un )n∈ » est à valeurs réelles si λ1 et λ2 sont des réels. • Cas où ∆ = 0 : On traite ce cas à peu près comme le précédent. $ % • Cas où ∆ < 0 : Soit (un )n∈∈" ∈ 5 . Comme ∆ '= 0, (un )n∈" est de la forme λρ n eniθ + µρ n e−niθ n∈" pour certains λ, µ COMPLEXES. Par ailleurs, ρ > 0 et θ ∈ # \ π& car ρ eiθ et ρ e−iθ ne sont pas des réels. $ % Supposons (un )n∈ » à valeurs réelles. En particulier, u0 = λ + µ et u1 = ρ λ eiθ + µ e−iθ sont des réels, donc leurs parties imaginaires sont nulles, donc Im(λ) + Im(µ) = 0 et : 4 5 4 5 Im(λ) + Im(µ) cos θ + Re(λ) − Re(µ) sin θ = 0. On tire de ces deux égalités que Re(µ) = Re(λ) et Im(µ) = −Im(λ), i.e. que µ = λ. Réciproquement, (un )n∈ » est à valeurs réelles si µ = λ et a bien la forme voulue car pour tout n ∈  » : 4 5 $ % un = λρ n eniθ + λρ n e−niθ = 2ρ n Re λ eniθ = ρ n 2 Re(λ) cos(nθ ) − 2 Im(λ) sin(nθ ) . Exemple n ∈ « . On cherche une expression de la suite réelle (un )n∈ » définie par u0 = 0, u1 = 1 et un+2 = 2un+1 − un pour tout 2 2 Démonstration Récurrente linéaire d’ordre $2 de polynôme % caractéristique X − 2X + 1 = (X − 1) — une n seule racine réelle — (un )n∈ » est de la forme (λn + µ) 1 n∈ » pour certains λ, µ ∈ #. Ensuite µ = u0 = 0 et λ + µ = u1 = 1, donc λ = 1 et µ = 0, autrement dit un = n pour tout n ∈ « . Exemple On cherche une expression de la suite réelle (un )n∈ » définie par u0 = 0, u1 = 1 et un+2 = un+1 − un pour tout n ∈ « . On l’a déjà fait dans un exemple précédent en passant par la version complexe du théorème sur les suites récurrentes linéaires d’ordre 2. On peut à présent utiliser directement sa version réelle. 4 iπ 5 4 iπ 5 Démonstration Récurrente linéaire d’ordre 2 de polynôme caractéristique X 2 − X + 1 = X − e 3 X − e− 3 . .. nπ nπ + µ sin pour certains — deux racines non réelles conjuguées — (un )n∈ » est de la forme λ cos + 3 3 n∈ » λ µ 3 2 2 nπ λ, µ ∈ #. Ensuite λ = u0 = 0 et + = u1 = 1, donc µ = + , puis un = + sin pour tout n ∈ « . 2 2 3 3 3 18