Transformations de Lorentz

Les transformations de Lorentz Pour commencer, il me semble important de montrer le lien très étroit qui existe entre l’électrodynamique et la relativité restreinte. L’électrodynamique est décrite par les lois de Maxwell (versions électrostatique et électrodynamique). Dans ces lois apparaissent les constantes ε 0 et µ0 qui sont respectivement la permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique du vide. Dans les lois d’Ampère-Maxwell et de Faraday-Maxwell, ces deux constantes apparaissent sous la forme du produit ε 0 µ0 : ∇2 E − µ 0 ε 0 ∇2 B − µ 0 ε 0 On reconnaît ici le formalisme d’une équation d’ondes. Donc on peut poser v2 = ε o1µ0 où v est la vitesse de l’onde. En électrodynamique, cette vitesse ne peut être que celle de la lumière étant donné que la lumière elle-même est formée par une combinaison des champs électriques et magnétiques. Dans ce qui suit, je vais démontrer qu’en électrodynamique, le champ magnétique est une forme relativiste du champ électrique. Afin de pouvoir le démontrer, il faut commencer par revoir les transformations de Lorentz qui sont au cœur de la relativité restreinte. Transformation de Lorentz On va retrouver les transformations de Lorentz par une méthode que je trouve assez élégante. On va faire trois hypothèses physiques de base et utiliser la structure de corps apparaissant en algèbre. Figure 1: Le référentiel S est en bleu et le référentiel S′ en rouge. À l’instant t = t′ = 0, les origines O et O′ sont confondues. Les horloges marquent les temps t et t′ qui sont synchronisés dans l’ensemble des référentiels respectif. En d’autres mots, l’heure est la même au même instant dans tout le référentiel concerné, mais t′ ̸= t. On part de la situation suivante. On considère deux référentiels inertiels S et S′ dont les origines O et O′ coïncident à l’instant t = 0. Le référentiel S′ se déplace le long des axes x et x ′ commun aux deux référentiels. La situation est décrite à la figure (1). Les référentiels sont donc en translation uniforme. Une particule P sur l’axe Ox a comme coordonnées spatiotemporelles (t, x ) dans S et (t′ , x ′ ) dans S′ . Il faut bien rappeler qu’à l’instant initial, on avait t = t′ = 0, x = x ′ = 0 et par conséquent O = O′ . TRANSFORMATION DE LORENTZ Hypothèses de départ Il faut maintenant bien fixer ce que l’on se propose de calculer. On va chercher à exprimer les valeurs t et x en fonction des valeurs t′ et x ′ est vice-versa. x ( t ′ , x ′ ), t ( t ′ , x ′ ) x ′ (t, x ), t′ (t, x ). Hypothèses de départ on formule trois hypothèses dont la première est en fait le premier postulat de la relativité restreinte. (Première hypothèse = Premier postulat d’Einstein). On affirme que toute expérience conduite à l’intérieur d’un certain système de référence est indépendante de tout mouvement de translation uniforme Il est équivalent à l’affirmation selon laquelle il n’y a aucun moyen de détecter une vitesse absolue dans (Deuxième hypothèse). On suppose que l’espace et le temps sont homogènes et isotropes. Ce qui signifie qu’il n’y a pas de direction ou d’instant privilégié dans le continuum espace-temps. (Troisième hypothèse). Les temps t et t′ sont synchronisés dans chacun des référentiels S et S′ . Attention, t ̸= t′ . Autrement dit tous les points de S ont le temps t comme coordonnée première de même que tous les points de S′ ont la coordonnée temporelle t′ . À un instant donné, toutes les montres indiquent la même heure. Démonstration des transformations de Lorentz Je vais utiliser ici une méthode qui n’est pas souvent utilisée au niveau de la maturité, mais tout élève connaît la notion de structure de groupe. Je vais utiliser la structure de groupe jusqu’à un certain point et ensuite déterminer la valeur d’une constante qui va apparaître à l’aide d’une observation faite sur les muons atmosphériques créés par les rayons cosmiques à l’orée de l’atmosphère terrestre. Le temps et l’espace étant homogènes et isotropes, les transformations que l’on cherche seront des transformations linéaires plus exactement des transformations affines. Le référentiel S′ se déplace avec une vitesse d’intensité v dans la direction + x, prise comme positive. On pose: où A, B, C et D sont des fonctions de v . En écriture matricielle, on a:

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TRANSFORMATION DE LORENTZ Démonstration des transformations de Lorentz On pose quelques propriétés que la transformation linéaire T(v) doit physiquement remplir et on s’aperçoit que l’on a une structure de groupe dont le doublet descriptif est G = (T, ⊙). • Si v = 0 alors S = S′ d’où T(0) = 1 = matrice identité. G1 : Élément neutre de (T, ⊙) • Il doit y avoir symétrie, on doit pouvoir retrouver les transformations inverses en posant la vitesse égale à −v. Donc G2 : Élément opposé de (T, ⊙) • Si on considère un troisième référentiel S′′ en vitesse uniforme par rapport à S′ le long de Ox. On note v′′ = v ⊙ v′ la vitesse de S′′ par rapport à S. Autrement dit, on doit avoir: T(v′ )T(v) = T(v ⊙ v′ ) G3 : Fermeture de (T, ⊙) • Dans le cas de quatre référentiels S, S′ , S′′ et S′′′ on peut vérifier que: T(v′′ )T(v′ ) T(v) = T(v′′ ) (T(v′ )T(v) G4 : Associativité de (T, ⊙) L’ensemble des transformations de coordonnées entre deux repères inertiels en translation uniforme possède une structure de groupe. Il faut à présent déterminer les entrées A, B, C et D de la matrice T. Mouvement de l’origine O’: Dans S′ , x ′ = 0 et t′ = t′ et dans S, t = t et x = vt. Cela donne la Mouvement de l’origine O: Dans S′ , x ′ = −vt′ et t′ = t′ et x = 0, cela donne la relation: Cela donne ⇒ t′ = At et − vt′ = Ct De (8), on peut déduire que C = − Av et de (7) on déduit que D = A. On conclut également que A > 0 vu que t et t′ sont positifs. Par conséquent la matrice T devient: En utilisant l’homogénéité de l’espace on peut poser v = −v, x = − x et x ′ = − x ′ . Par contre le temps ne change pas de direction! Ce qui donne Il est donc clair que

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TRANSFORMATION DE LORENTZ Démonstration des transformations de Lorentz Le déterminant des deux matrices étant identique, on déduit que A2 + ABv = 1. Il faut à présent considérer un troisième repère S′′ en translation uniforme par rapport à S et S′ dans la même direction, de vitesse v′ par rapport à v. Par rapport à S, S′′ à une vitesse v′′ = v ⊙ v′ . Donc: T(v′ )T(v) = T(v ⊙ v′ ) A(v′ ) A(v) − B(v′ ) A(v)v − A(v′ ) A(v)v′ − A(v′ ) A(v)v − A(v ⊙ v′ ) · (v ⊙ v′ ) A(v′ ) B(v) + B(v′ ) A(v) − A(v′ ) B(v)v′ + A(v′ ) A(v) Les éléments de la diagonale principale sont égaux. On peut poser: A(v′ ) A(v) − B(v′ ) A(v)v = − A(v′ ) B(v)v′ + A(v′ ) A(v) B(v′ ) A(v)v = A(v′ ) B(v)v′ D’après A2 + ABv = 1, A ne peut être égal à zéro. On peut par conséquent, pour autant que v et v′ sont différents de zéro, former le rapport: Il existe donc une certaine constante k. En utilisant la valeur k et le déterminant de T on peut écrire que: Ça avance… mais pour l’instant on a seulement: En tenant compte du fait que T(v)−1 = T(−v) on peut écrire: Il faut à présent trouver la valeur de k. k possèdent sans erreur possible une dimension de vitesse au carré inverse. On se souvient à présent de ce que chaque professeur de gymnase a, ou aurait dû vous raconter, c’est l’histoire des muons. Les muons sont des particules créées dans la haute atmosphère dont la durée de vie en laboratoire est de l’orde de 2 ms seconde et que l’on détecte à la surface de la Terre. La vitesse des muons est de 0.99c.

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TRANSFORMATION DE LORENTZ Démonstration des transformations de Lorentz Le muon peut donc, selon la mécanique classique, parcourir une distance de d = v · t = 594m. Pourtant on en trouve à la surface de la Terre! L’explication est que le temps de vie apparent du muon sur Terre (référentiel S) est plus long que dans son référentiel propre. Si je pose S′ comme étant le référentiel du muon, t′ = 2ms sa durée de vie mesurée en laboratoire, qui est également sa durée de vie dans S′ (puisqu’il est immobile dans ce référentiel) et enfin x ′ = 0 (le muon ne se déplace pas dans S′ ) on a, selon (12): On sait que t doit forcément être plus grand que t′ puisque des muons arrivent sur Terre. La seule manière de concilier la valeur de k et l’observation est de poser k = − c12 . Avec cette valeur, on peut écrire finalement les transformations de Lorentz, qui sont: Formule(s) 2.1 (Transformations de Lorentz).

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